Câu 231: Cho a,b,c,d là các số thực dương, khác 1 bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \({a^c} = {b^d} \Leftrightarrow \ln \left( {\frac{a}{b}} \right) = \frac{c}{d}\) B. \({a^c} = {b^d} \Leftrightarrow \frac{{\ln a}}{{\ln b}} = \frac{d}{c}.\) C. \({a^c} = {b^d} \Leftrightarrow \frac{{\ln a}}{{\ln b}} = \frac{c}{d}.\) D. \({a^c} = {b^d} \Leftrightarrow \ln \left( {\frac{a}{b}} \right) = \frac{d}{c}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({a^c} = {b^d} \Leftrightarrow \ln {a^c} = \ln {b^d} \Leftrightarrow c\ln a = d\ln b \Leftrightarrow \frac{{\ln a}}{{\ln b}} = \frac{d}{c}.\)
Câu 232: Hỏi phương trình \({3.2^x} + {4.3^x} + {5.4^x} = {6.5^x}\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực? A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Phương trình \({3.2^x} + {4.3^x} + {5.4^x} = {6.5^x} \Leftrightarrow 3.{\left( {\frac{2}{5}} \right) ^x} + 4.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + 5{\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} - 6 = 0\) Xét hàm số \(f\left( x \right) = 3.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + 4.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + 5{\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} - 6\) với \(x\in \mathbb{R}\) Ta có \(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\) Vì hàm số \(g\left( x \right) = {a^x}\) với \(0 < a < 1\) là hàm số nghịch biến trên tập xác định nên phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm. Mặt khác \(f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0\) nên phương trình có nghiệm duy nhất nhất \(x_0\in (1;2)\)
Câu 233: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{\frac{1}{x}}} < {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{\frac{3}{x} + 5}}.\) A. \(S = \left( { - \infty ;\frac{{ - 2}}{5}} \right)\) B. \(S = \left( { - \infty ;\frac{{ - 2}}{5}} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\) C. \(S = \left( {0; + \infty } \right)\) D. \(S = \left( {\frac{{ - 2}}{5}; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{\frac{1}{x}}} < {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{\frac{3}{x} + 5}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ \frac{1}{x} < \frac{3}{x} + 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ \frac{{2 + 5x}}{x} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ \left[ \begin{array}{l} x > 0\\ x < - \frac{2}{5} \end{array} \right. \end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 0\\ x < - \frac{2}{5} \end{array} \right.\)
Câu 234: Cho hàm số \(y = {x^2}{e^x}.\) Giải bất phương trình \(y'<0\) A. \(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) B. \(x \in (-2;0)\) C. \(x \in (0;2)\) D. \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = 2x{e^x} + {x^2}{e^x} < 0 \Leftrightarrow x{e^x}(2 + x) < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 0.\)
Câu 235: Cho các số thực \(a,b,\alpha \,(a > b > 0,\alpha \ne 1).\) Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \({(a - b)^\alpha } = {a^\alpha } - {b^\alpha }\) B. \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}} {{{b^{ - \alpha }}}}\) C. \({\left( {a + b} \right)^\alpha } = {a^\alpha } + {b^\alpha }\) D. \({\left( {ab} \right)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha }\) Spoiler: Xem đáp án \(a,b,\alpha \,(a > b > 0,\alpha \ne 1)\) suy ra: \({\left( {ab} \right)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha }\)
Câu 236: Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới đây một nhóm các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể được dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị ung thư. Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng 1 tuần bèo phát triển thành 3 lần lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ? A. \(7+log_324\) B. \(3^{\frac{25}{7}}\) C. \(7log_325\) D. \(56\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({S_0} = 0,04S\) (S là diện tích mặt hồ) Gọi tốc độ phát triển bèo sau 1 ngày là a. Sau 7 ngày diện tích bèo tăng lên a7 lần \(\Rightarrow {a^7} = 3 \Leftrightarrow a = \sqrt[7]{3}\) Gọi t là số ngày bèo phủ kín hồ: \(S = {S_0}.{a^t} = {\left( {\sqrt[7]{3}} \right)^t}.{S_0} \Rightarrow \frac{S}{{{S_0}}} = {3^{\frac{t}{7}}} \Rightarrow 25 = {3^{\frac{t}{7}}} \Rightarrow t = 7{\log _3}25.\)
Câu 237: Phương trình \({\log _3}\left| {{x^2} - \sqrt 2 x} \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 2} \right)\) có bao nhiêu nghiệm? A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - \sqrt 2 x \ne 0\\ {x^2} - \sqrt 2 x + 2 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ x \ne \sqrt 2 \end{array} \right.\) Đặt: \({\log _3}\left| {{x^2} - \sqrt 2 x} \right| = {\log _5} \left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 2} \right) = t\) Ta có: \(\begin{array}{l} \left| {{x^2} - \sqrt 2 x} \right| = {3^t}\\ {x^2} - \sqrt 2 x + 2 = {5^t} \end{array}\) Nếu \({x^2} - \sqrt 2 x > 0\) thì ta có: \({3^t} = {5^t} - 2 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^t} + 2{\left( {\frac{1}{5}} \right)^t} = 1\) (1) Ta thấy hàm số \(f(t) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^t} + 2{\left( {\frac{1}{5}} \right)^t}\) là hàm số nghịch biến do đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất. Dễ thấy f(t) = 1. Vậy t=0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Ta có: \({x^2} - \sqrt 2 x = {3^0} \Leftrightarrow {x^2} - \sqrt 2 x - 1 = 0\) có hai nghiệm. Nếu \(- 2 < {x^2} - \sqrt 2 x < 0\) thì ta có: \({3^t} = - {x^2} + \sqrt 2 x \Rightarrow {3^t} + {5^t} = 2 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^t} - 2{\left( {\frac{1}{5}} \right)^t} = - 1\,(2)\) Lập luận tương tự (1) trên là nghiệm duy nhất của (2). Ta có: \(- {x^2} + \sqrt 2 x = {3^0}\) (Vô nghiệm).
Câu 238: Tìm m để hàm số \(y = {\log _2}({4^x} - {2^x} + m)\) có tập xác định \(D=\mathbb{R}.\). A. \(m>\frac{1}{4}\) B. \(m\geq \frac{1}{4}\) C. \(m < \frac{1}{4}\) D. \(m >0\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = {\log _2}({4^x} - {2^x} + m)\) có tập xác định \(D=\mathbb{R}\) khi: \({4^x} - {2^x} + m > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) Đặt: \(t = {2^x} > 0,\) khi đó bài toán trở thàm tìm m để: \({t^2} - t + m > 0,\forall t > 0\) Ta có: \({t^2} - t + m > 0 \Leftrightarrow m > t - {t^2}\) Xét hàm số \(f(t) = t - {t^2},t > 0\) \(\begin{array}{l} f'(t) = 1 - 2t\\ f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \end{array}\) Bảng biến thiên: Vậy \(m > f(t) \Rightarrow m > \frac{1}{4}.\)
Câu 239: Biết rằng phương trình ${2^{{x^2} - 1}} = {3^{x + 1}}$ có hai nghiệm là $a, b$. Tính giá trị $a+b+ab$. A. \(- 1 + 2{\log _2}3\) B. \(1 + 2{\log _2}3\) C. \(-1\) D. \(1 + {\log _2}3\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {2^{{x^2} - 1}} = {3^{x + 1}} \Leftrightarrow {x^2} - 1 = {\log _2}{3^{x + 1}}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = (x + 1){\log _2}3\\ \Leftrightarrow {x^2} - x.{\log _2}3 - (1 + {\log _2}3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 + {\log _2}3 \end{array} \right. \end{array}\)
Câu 240: Cho $\alpha, \beta$ là các số thực. Đồ thị hàm số $y = x^{\alpha}, y= x^{\beta}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ được cho trong hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(0<\beta <1<\alpha\) B. \(0<\alpha <1< \beta\) C. \(\alpha <0<1<\beta\) D. \(\beta <0<1< \alpha\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào hình dáng đồ thị ta thấy \(0<\beta <1<\alpha\)
