Câu 241: Tìm tập xác định của hàm số \(y = {(2x - {x^2})^{ - \pi }}.\) A. \(\left ( 0;\frac{1}{2} \right )\) B. \(\left (0;2\right )\) C. \(\left [ 0;2 \right ]\) D. \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Do số mũ là số không nguyên nên điều kiện xác định của hàm số là: \(2x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2.\)
Câu 242: Tập giá trị của tham số m để phương trình \({5.16^x} - {2.81^x} = m{.36^x}\) có đúng một nghiệm? A. \(m \in \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\) B. \(m \in \left( {0; + \infty } \right)\) C. \(m \in \mathbb{R}\) D. \(m \in \varnothing \) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(PT \Leftrightarrow 5.{\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)^x} - m{\left( {\frac{{36}}{{81}}} \right)^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow 5{\left( {\frac{4}{9}} \right)^{2x}} - m{\left( {\frac{4}{9}} \right)^x} - 2 = 0\) Đặt \(t = {\left( {\frac{4}{9}} \right)^x} > 0\) phương trình trở thành \(5{t^2} - mt - 2 = 0\) luôn có 2 nghiệm trái dấu Giải sử \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {\frac{4}{9}} \right)}^{{x_1}}} = {t_1} > 0}\\ \\ {{{\left( {\frac{4}{9}} \right)}^{{x_2}}} = {t_2} < 0} \end{array}} \right.\) . Do đó đã cho luôn có 1 nghiệm với mọi m.
Câu 243: Tìm tập nghiệm S của phương trình \({\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{x + 2016}} = {\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)^{{x^2} + 1005}}.\) A. \(S = \left\{ {\frac{{ - 3}}{2};2} \right\}\) B. \(S = \left\{ {1;\frac{{ - 1}}{2}} \right\}\) C. \(S = \left \{ 3 \right \}\) D. \(S = \left \{ 1;2 \right \}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{x + 2016}} = {\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)^{{x^2} + 1005}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{x + 2016}} = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{2{x^2} + 2010}}\\ \Leftrightarrow x + 2016 = 2{x^2} + 2010\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - \frac{3}{2} \end{array} \right. \end{array}\)
Câu 244: Cho hàm số \(y=e^{x^2}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. \(y'' + 2xy' - 2y = 0\) B. \(y'' - xy' - 2y = 0\) C. \(y'' - 2xy' - 2y = 0\) D. \(y'' - 2xy' + 2y = 0\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y=e^{x^2}\) có: \(\begin{array}{l} y' = 2x.{e^{{x^2}}}\\ y = 2\left( {{e^{{x^2}}} + 2{x^2}{e^{{x^2}}}} \right) = 2{e^{{x^2}}} + 4{x^2}{e^{{x^2}}} \end{array}\) Mà \(2xy' = 2x.2x{e^{{x^2}}} = 4{x^2}{e^{{x^2}}}\) Do đó: \(y = 2{e^{{x^2}}} + 2xy' = 2y + 2xy' \Leftrightarrow y - 2xy' - 2y = 0\)
Câu 245: Tìm tập nghiệm D của bất phương trình \({3^{2x + 1}} - {2.3^x} - 1 \ge 0.\) A. \((-\infty ;0]\) B. \([0;+\infty )\) C. \([1;+\infty )\) D. \((-\infty ;1]\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {3^x}\left( {t > 0} \right)\). Khi đó bất phương trình trở thành: \(3{t^2} - 2t - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t \ge 1\\ t \le - \frac{1}{3}\,(Loai) \end{array} \right.\) Với \(t \ge 1 \Rightarrow {3^x} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0.\)
Câu 246: Cho \(f\left( x \right) = {x^2}.{e^x}\). Tìm tập nghiệm của phương trình \(f'(x)=0\). A. \(S = \left\{ { - 2;0} \right\}\) B. \(S = \left\{ { - 2} \right\}\) C. \(S = \varnothing\) D. \(S = \left \{ 0 \right \}\) Spoiler: Xem đáp án \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2}{e^x}} \right)' = \left( {{x^2}} \right)'{e^x} + {x^2}.\left( {{e^x}} \right)' = 2x{e^x} + {x^2}.{e^x}\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x{e^x} + {x^2}.{e^x} = 0 \Leftrightarrow x{e^x}\left( {2 + x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 2 \end{array} \right.\)
Câu 247: Tính đạo hàm của hàm số \(y=e^{x^2}\). A. \(y' = 2{\rm{x}}.{e^x}\) B. \(y' = 2{\rm{x}}.{e^{{x^2} - 1}}\) C. \(y' = 2{\rm{x}}{\rm{.}}{{\rm{e}}^{{x^2}}}\) D. \(y' = {x^2}.{e^{{x^2} - 1}}\) Spoiler: Xem đáp án \(\left( {{e^{{x^2}}}} \right)' = \left( {{x^2}} \right)'.{e^{{x^2}}} = 2x{e^{{x^2}}}.\)
Câu 248: Tìm tập xác định của hàm số \(y=(x^2-3x)^{-6}\). A. \(D=(3;+\infty )\) B. \(D=\mathbb{R}\) C. \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0;3 \right \}\) D. \(D=( 0;3 )\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = {\left( {{x^2} - 3{\rm{x}}} \right)^{ - 6}}\) có điều kiện xác định là: \({x^2} - 3{\rm{x}} \ne {\rm{0}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{x}} \ne {\rm{0}}\\ {\rm{x}} \ne {\rm{3}} \end{array} \right.\) Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0;3 \right \}\)
Câu 249: Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y, biết \(x = {t^{\frac{1}{{t - 1}}}},y = {t^{\frac{t}{{t - 1}}}}\). A. \({y^x} = {x^y}\) B. \({y^x} = {x^{\frac{1}{y}}}\) C. \({y^{\frac{1}{y}}} = {x^y}.y\) D. \({y^y} = {x^x}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y = {t^{\frac{t}{{t - 1}}}} = {\left( {{t^{\frac{1}{{t - 1}}}}} \right)^t} = {x^t}\) Mặt khác: \(y = {t^{\frac{t}{{t - 1}}}} = {t^{1 + \frac{1}{{t - 1}}}} = t.{t^{\frac{1}{{t - 1}}}} = t.x \Rightarrow t = \frac{y}{x} \Rightarrow y = {x^{\frac{y}{x}}} \Rightarrow {y^x} = {x^y}\)
Câu 250: Tìm tập nghiệm của bất phương trình $$ A. \(S = \left( {1 + \sqrt 2 ; + \infty } \right)\) B. \(S=\left( { - \infty ;1 - \sqrt 2 } \right)\) C. \(S=\left( {1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)\) D. \(S = \left( { - \infty ;1 - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {1 + \sqrt 2 ; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({8^x}{.2^{1 - {x^2}}} > {\left( {\sqrt 2 } \right)^{2x}} \Leftrightarrow {2^{3x}}{.2^{1 - {x^2}}} > {2^x} \Leftrightarrow {2^{ - {x^2} + 3x + 1}} > {2^x}\)\(\Rightarrow - {x^2} + 3x + 1 > x\) \(\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 < 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt 2 < x < 1 + \sqrt 2\)
