Câu 261: Tính giá trị biểu thức \(B = {5^{\sqrt 3 - 1}}{.25^{\sqrt 3 }}{.125^{1 - \sqrt 3 }}.\) A. B = 625 B. B = 125 C. B = 25 D. B = 5 Spoiler: Xem đáp án \(B = {5^{\sqrt 3 - 1}}{.25^{\sqrt 3 }}{.125^{1 - \sqrt 3 }} = {5^{(\sqrt 3 - 1 + 2\sqrt 3 + 3 - 3\sqrt 3 )}} = {5^2} = 25\)
Câu 262: Tìm giá trị của m để phương trình \({2^x} + 3 = m\sqrt {{4^x} + 1}\) có hai nghiệm phân biệt. A. \(m < \frac{1}{3}\) B. \(m > \sqrt{10}\) C. \(3 < m < \sqrt{10}\) D. \(1 \leq m < 3\) Spoiler: Xem đáp án Chọn C Đặt 2x = t > 0 khi đó phương trình đã cho tương đương với \(t + 3 = m\sqrt {{t^2} + 1} \ (1)\) Từ (1) ta có \(m = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\) Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\) và đường thẳng y = m Xét hàm số: \(f(t) = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\) với \(t \in (0; + \infty )\) Ta có: \(f'(t) = \frac{{1 - 3t}}{{({t^2} + 1)\sqrt {{t^2} + 1} }};f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\) Lập nhanh bảng biến thiên ta thấy ngay được khi \(3 < m < \sqrt {10}\) thì đường thẳng và đồ thị hàm số \(y = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\) cắt nhau tại 2 điểm.
Câu 263: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng lãi suất 5,17%/tháng (lãi tháng trước cộng vào lãi tháng sau). Tính số tiền người đó có được sau 6 tháng? (Kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy). A. 135,32 triệu B. 35,32 triệu C. 1,91 triệu D. 101,91 triệu Spoiler: Xem đáp án Đây là bài toán lãi kép có nghĩa là tính lãi tháng trước cộng vào lãi tháng sau nên ta có tổng số tiền nhận được sau 6 tháng sẽ là: \(100.{\left( {1 + \frac{{5,17}}{{100}}} \right)^6} = 135,32\) (triệu đồng).
Câu 264: Cho hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right).\) Khẳng định nào sau đây là sai? A. Tập xác định \(D=\mathbb{R}\) B. Hàm số có tiệm cận ngang \(y=0.\) C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\) D. Đồ thị hàm số luôn ở phía trên trục hoành. Spoiler: Xem đáp án Chọn câu C vì nếu 0 < a < 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0\)
Câu 265: Cho \(\alpha \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\) Rút gọn biểu thức \(P = {2^{{{\sin }^4}\alpha }}{2^{{{\cos }^4}\alpha }}{4^{{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }}.\) A. \(P = {2^{\sin \alpha cos\alpha }}\) B. \(P = 2\) C. \(P = {2^{\sin \alpha +cos\alpha }}\) D. \(P = 4\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({2^{{{\sin }^4}\alpha }}{.2^{{{\cos }^4}\alpha }}{.4^{{{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }} = {2^{{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha + 2.{{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }} = {2^{{{\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)}^2}}} = {2^1} = 2\)
Câu 266: Ngày 1/7/2016, dân số Việt Nam khoảng 91,7 triệu người. Nếu tỉ lệ tăng dân số Việt Nam hàng năm là 1,2% và tỉ lệ ổn định 10 năm liên tiếp thì ngày 1/7/2026 dân số Việt Nam khoảng bao nhiêu triệu người? A. 104,3 triệu người B. 103,3 triệu người C. 105,3 triệu người D. 106,3 triệu người Spoiler: Xem đáp án Từ ngày 1/7/2016 đến ngày 1/7/2026 thì được 10 năm, khi đó số dân của Việt Nam là: \(N = 91,7.{\left( {1 + 1,2\% } \right)^{10}} = 103,317\)
Câu 267: Phương trình \({2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} = 4\) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(x \ne 0.\) Ta có: \({2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} = 4\left( 1 \right).\) Với x<0 thì VT<4, do đó: x>0. Ta có áp dụng Bđt Cauchy: \(x + \frac{1}{{4x}} \ge 2\sqrt {x.\frac{1}{{4x}}} = 1 \Rightarrow {2^{x + \frac{1}{{4x}}}} \ge {2^1} = 2\) \(\frac{x}{4} + \frac{1}{x} \ge 2.\sqrt {\frac{x}{4}.\frac{1}{x}} = 2 \Rightarrow {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} \ge {2^1} = 2\) Từ đây suy ra: \({2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} \ge 4\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = \frac{1}{4}\\ {x^2} = 2 \end{array} \right.\) (Vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho VN.
Câu 268: Một người gửi ngân hàng 100 triệu theo thể thức lãi kép, lãi suất 0,5% một tháng (kể từ tháng thứ 2, tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng tiền có được tháng trước đó và tiền lãi của tháng trước đó). Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu? A. 45 tháng B. 46 tháng C. 44 tháng D. 47 tháng Spoiler: Xem đáp án Sau tháng thứ hai số tiền người đó có trong ngân hàng là: \(A.\left( {1 + 0,5\% } \right) + A\left( {1 + 0,5\% } \right).0,5\% = A.{\left( {1 + 0,5\% } \right)^2}\) Sau tháng thứ ba, số tiền người đó có trong ngân hàng là: \(A.{\left( {1 + 0,5\% } \right)^3}\) … Sau tháng thứ n số tiền lãi nhận được là: \(A.{\left( {1 + 0,5\% } \right)^n} = 100.{\left( {1 + 0,5\% } \right)^n} = 125 \Rightarrow n = {\log _{1 + 0,5\% }}1,25 = 44,74\) Do vậy sau ít nhất 45 tháng người đó sẽ có nhiều hơn 125 triệu.
Câu 269: Phương trình \({4^{{x^2}}} - {5.2^{{x^2}}} + 4 = 0\) có bao nhiêu nghiệm thực? A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình \({4^{{x^2}}} - {5.2^{{x^2}}} + 4 = 0\). Đặt: \({2^{{x^2}}} = a\left( {a > 0} \right)\) thì phương trình đã cho trở thành \({a^2} - 5.a + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 4\\ a = 1 \end{array} \right.\) Với \(a=4\) thì \({x^2} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \sqrt 2 \\ x = - \sqrt 2 \end{array} \right..\) Với \(a=1\) thì \({x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\). Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm thực phân biệt.
Câu 270: Cho a là số thực dương khác 1. Xét hai số thực \(x_1;x_2\). Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Nếu \({a^{{x_1}}} < {a^{{x_2}}}\) thì \(\left( {a - 1} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right) < 0\) B. Nếu \({a^{{x_1}}} < {a^{{x_2}}}\) thì \(\left( {a - 1} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right) > 0\) C. Nếu \({a^{{x_1}}} < {a^{{x_2}}}\) thì \(x_1<x_2\) D. Nếu \({a^{{x_1}}} < {a^{{x_2}}}\) thì \(x_1>x_2\) Spoiler: Xem đáp án Xét phương án A: Nếu \(0 < a < 1\) thì \({x_1} > {x_2}.\) Nếu \(a>1\) thì \(x_1<x_2\) Từ đây suy ra \(\left( {a - 1} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right) < 0.\) Vậy A đúng.
