Câu 271: Chuyện kể rằng: Ngày xưa, có ông vua hứa sẽ thưởng cho một vị quan món quà mà vị quan đươc chọn. Vị quan tâu: “Hạ thần chỉ xin Bệ hạ thưởng cho một hạt thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: Bàn cờ vua có 64 ô thì với ô thứ nhất thần xin thêm 1 hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 lại gấp đôi ô thứ 2,… ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước”. Tìm giá trị nhỏ nhất của n để tổng số hạt thóc mà vị quan xin từ n ô đầu tiên (từ ô thứ 1 đến ô thứ n) lớn hơn 1 triệu. A. 21 B. 19 C. 18 D. 20 Spoiler: Xem đáp án Từ dữ kiện đề bài suy ra số thóc ở ô thứ n sẽ là \(2^{n-1}\) hạt. Vậy tổng số thóc từ ô 1 đến ô thứ n là: \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{n - 1}} = \frac{{{2^n} - 1}}{{2 - 1}} = {2^n} - 1\) với \(1 \le n \le 64,n \in \mathbb{R}.\) Để số hạt thóc lớn hơn 1 triệu thì \({2^n} - 1 > 1000000 \Leftrightarrow {2^n} > 1000001\) \(\Leftrightarrow n > {\log _2}1000001 \approx 19,93157\) Vậy n=20.
Câu 272: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {x^{\frac{1}{3}}}.\) A. \(D = \left[ {0; + \infty } \right)\) B. \(D = \mathbb{R}\) C. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) D. \(D = \left( {0; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Do \(\frac{1}{3}\) là số không nguyên hàm số \(y = {x^{\frac{1}{3}}}\) có tập xác định là: \(D = \left( {0; + \infty } \right).\)
Câu 273: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\left( {{2^{{x^2} - 4}} - 1} \right).\ln {x^2} < 0.\) A. \(S = \left( { - 2; - 1} \right) \cup \left( {1;2} \right)\) B. \(S = \left\{ {1;2} \right\}\) C. \(S= \left( {1;2} \right)\) D. \(S = \left[ {1;2} \right]\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(x \ne 0.\) Khi đó: \(\left( {{2^{{x^2} - 4}} - 1} \right).\ln {x^2} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {2^{{x^2} - 4}} - 1 < 0\\ \ln {x^2} > 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} {2^{{x^2} - 4}} - 1 > 0\\ \ln {x^2} < 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\) TH1: \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {2^{{x^2} - 4}} - 1 < 0\\ \ln {x^2} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {2^{{x^2} - 4}} < {2^0}\\ \ln {x^2} > \ln 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4 < 0\\ {x^2} > 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < x < 2\\ \left[ \begin{array}{l} x > 1\\ x < - 1 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 < x < - 1\\ 1 < x < 2 \end{array} \right. \end{array}\) TH2: \(\left\{ \begin{array}{l} {2^{{x^2} - 4}} - 1 > 0\\ \ln {x^2} < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4 > 0\\ {x^2} < 1 \end{array} \right.\) (Loại).
Câu 274: Tìm S là tổng các nghiệm của phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2}{.2^x} = 2x\left( {{x^2} - 1} \right) + 4\left( {{2^{x - 1}} - {x^2}} \right).\) A. S=4 B. S=5 C. S=2 D. S=3 Spoiler: Xem đáp án \({\left( {x - 1} \right)^2}{.2^x} = 2x\left( {{x^2} - 1} \right) + 4\left( {{2^{x - 1}} - {x^2}} \right)\) \(\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}{.2^x} = 2{x^3} - 4{x^2} - 2x + {2^{x + 1}}\) \(\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x + 1} \right){.2^x} = 2x\left( {{x^2} - 2x - 1} \right) + {2.2^x}\) \(\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x - 1} \right)\left( {{2^x} - 2x} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} - 2x - 1 = 0\left( 1 \right)\\ {2^x} = 2x\left( 2 \right) \end{array} \right.\) Phương trình (1) có tổng 2 nghiệm bằng 2 Phương trình \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = {2^x} - 2x = 0\). Có \(f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 - 2 = 0 \Leftrightarrow x = lo{g_2}\frac{2}{{\ln 2}},f'\left( x \right)\) có 1 nghiệm nên f(x) có tối đa 2 nghiệm. Vì \(f\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) = 0\) nên (2) có nghiệm x=1 hoặc x=2. Hai nghiệm này không là nghiệm của (1) Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 2 + 1 + 2 = 5
Câu 275: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {2^{\sqrt {1 - x} }}.\) A. \(y' = \frac{{ - \ln 2}}{{2\sqrt {1 - x} }}{2^{\sqrt {1 - x} }}\) B. \(y' = \frac{{ \ln 2}}{{2\sqrt {1 - x} }}{2^{\sqrt {1 - x} }}\) C. \(y' = \frac{{ - {2^{\sqrt {1 - x} }}}}{{2\sqrt {1 - x} }}\) D. \(y' = \frac{{ - {2^{\sqrt {1 - x} }}}}{{2\sqrt {1 - x} }}\) Spoiler: Xem đáp án \(\left( {{2^{\sqrt {1 - x} }}} \right)' = \left( {\sqrt {1 - x} } \right)'.ln{2.2^{\sqrt {x - 1} }} = \frac{{ - \ln {{2.2}^{\sqrt {1 - x} }}}}{{2\sqrt {1 - x} }}\)
Câu 276: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {x\sqrt[3]{{x\sqrt[4]{x}}}} .\) A. \(y' = \frac{{7\sqrt[{24}]{{{x^7}}}}}{{24}}\) B. \(y' = \frac{{14\sqrt[{24}]{{{x^7}}}}}{{24}}\) C. \(y' = \frac{{17}}{{24\sqrt[{24}]{{{x^7}}}}}\) D. \(y' = \frac{7}{{24\sqrt[{24}]{{{x^7}}}}}\) Spoiler: Xem đáp án \(y = \sqrt {x\sqrt[3]{{x\sqrt[4]{x}}}} = {x^{\frac{{17}}{{24}}}} \Rightarrow y' = \frac{{17}}{{24\sqrt[{24}]{{{x^7}}}}}\)
Câu 277: Phương trình \(\left( {x - 1} \right){2^x} = x + 1\) có bao nhiêu nghiệm thực? A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 Spoiler: Xem đáp án \(\left( {x - 1} \right){2^x} = x + 1 \Rightarrow {2^x} = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) Vẽ đồ thị hàm số \(y=2^x\)(màu xanh) và \(y=\frac{x+1}{x-1}\)(màu cam) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thực.
Câu 278: Phương trình \(4{x^3} - {2^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 2x + 1 - {x^2}\) có bao nhiêu nghiệm dương? A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} 4{x^3} - {2^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 2x + 1 - {x^2}\\ \Leftrightarrow {2^{2{x^2}}} - {2^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {\left( {x + 1} \right)^2} - 2{x^2}\\ \Leftrightarrow {2^{2{x^2}}} + 2{x^2} = {2^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + {\left( {x + 1} \right)^2}\,\left( * \right) \end{array}\) Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\), ta có f liên tục và \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t \ge 0\) Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {2{x^2}} \right) = f\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0\) Phương trình cuối cùng có \(ac<0\) nên có 2 nghiệm trái dấu. Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm dương.
Câu 279: Tìm tập nghiệm S của phương trình \({2^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {4^x}.\) A. \(S = \left\{ {4 + \sqrt 3 ,4 - \sqrt 3 } \right\}\) B. \(S = \left\{ {2 + \sqrt 3 ,2 - \sqrt 3 } \right\}\) C. \(S = \left\{ { - 4 + \sqrt 3 , - 4 - \sqrt 3 } \right\}\) D. \(S = \left\{ { - 2 + \sqrt 3 , - 2 - \sqrt 3 } \right\}\) Spoiler: Xem đáp án \({2^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {4^x} \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 2x \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 - \sqrt 3 \\ x = 2 + \sqrt 3 \end{array} \right.\)
Câu 280: Tìm tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{2x - 1}} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^{x + 2}}.\) A. \(\left\{ { - \frac{2}{{11}}} \right\}\) B. \(\left\{ { \frac{2}{{11}}} \right\}\) C. \(\left\{ { \frac{11}{{2}}} \right\}\) D. \(\left\{ { -\frac{11}{{2}}} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{2x - 1}} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^{x + 2}} \Rightarrow {2^{ - 4x + 2}} = {2^{\frac{3}{2}\left( {x + 2} \right)}}\\ \Rightarrow - 4x + 2 = \frac{3}{2}\left( {x + 2} \right) \Rightarrow x = - \frac{2}{{11}} \end{array}\)
