Câu 281: Một người gửi số tiền 300 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (lãi kép). Hỏi sau 3 năm, số tiền trong ngân hàng của người đó gần bằng bao nhiêu, nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không đổi (kết quả làm tròn đến triệu đồng). A. 337 triệu đồng B. 360 triệu đồng C. 357 triệu đồng D. 350 triệu đồng Spoiler: Xem đáp án Gửi ngân hàng số tiền là a với lãi suất bằng x%/năm => Sau n năm thì số tiền được là \(a.{\left( {1 + \frac{x}{{100}}} \right)^n}\) Người đó năm 1 gửi 300 triệu sau 4 năm được số tiền là \(300.{\left( {1 + \frac{6}{{100}}} \right)^3} \approx 357\) triệu
Câu 282: Cho x>0. Hãy biểu diễn biểu thức \(P = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } }\) dưới dạng lũy thừa của x với số mũ hữu tỉ? A. \(P=x^{\frac{1}{8}}\) B. \(P=x^{\frac{7}{8}}\) C. \(P=x^{\frac{3}{8}}\) D. \(P=x^{\frac{5}{8}}\) Spoiler: Xem đáp án \(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } = {\left( {x{{\left( {x\left( {{x^{\frac{1}{2}}}} \right)} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {x{{\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {x.{x^{\frac{3}{4}}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = {x^{\frac{7}{4}.\frac{1}{3}}} = {x^{\frac{7}{8}}}\)
Câu 283: Giả sử a và b là các số thực thỏa mãn \({3.2^a} + {2^b} = 7\sqrt 2\) và \({5.2^a} - {2^b} = 9\sqrt 2\). Tính a+b. A. a+b=3 B. a+b=2 C. a+b=4 D. a+b=1 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(x = {2^a},y = {2^b}(x,y>0))\) \(\left\{ \begin{array}{l} 5.x - y = 9\sqrt 2 \\ 3.x + y = 7\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\sqrt 2 \Rightarrow a = {\log _2}x = \frac{3}{2}\\ y = \sqrt 2 \Rightarrow b = {\log _2}y = \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
Câu 284: Một điện thoại đang nạp pin, dung lượng nạp được tính theo công thức \(Q\left( t \right) = {Q_0}\left( {1 - {e^{\frac{{ - 3t}}{2}}}} \right)\) với t là khoảng thời gian tính bằng giờ và Q0 là dung lượng nạp tối đa (pin đầy). Nếu điện thoại nạp pin từ lúc cạn pin (tức là dung lượng pin lúc bắt đầu nạp là 0%) thì sau bao lâu sẽ nạp được 90% (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? A. t=1,54 (h) B. t=1,2 (h) C. t=1 (h) D. t=1,34 (h) Spoiler: Xem đáp án Pin nạp được 90% tức là \(Q\left( t \right) = {Q_0}.0,9\) \(\Rightarrow Q\left( t \right) = {Q_0}.0,9 = {Q_0}\left( {1 - {e^{\frac{{ - 3t}}{2}}}} \right) \Rightarrow {e^{\frac{{ - 3t}}{2}}} = 0,1 \Rightarrow \frac{{ - 3t}}{2} = \ln 0,1\) \(\Rightarrow t \approx 1,54\,\,(h)\)
Câu 285: Nghiệm dương của phương trình \( \left( {x + {2^{1006}}} \right)\left( {{2^{1008}} - {e^{ - x}}} \right) < \left( {x + {2^{1006}}} \right){.2^{1008}}\) gần bằng số nào nhất trong các số sau đây? A. \({15.2^{1006}}\) B. \(2017\) C. \(2^{1011}\) D. 5 Spoiler: Xem đáp án \({2^{2018}} = \left( {x + {2^{1006}}} \right)\left( {{2^{1008}} - {e^{ - x}}} \right) < \left( {x + {2^{1006}}} \right){.2^{1008}}\) \(\Rightarrow x + {2^{1006}} > {2^{1010}} \Rightarrow x > {2^{1010}} - {2^{1006}} = {2^{1006}}\left( {{2^4} - 1} \right) = {15.2^{1006}}\)
Câu 286: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \({4^x} + \left( {4m - 1} \right){.2^x} + 3{m^2} - 1 = 0\) có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = 1.\) A. Không tồn tại m B. \(m=\pm1\) C. m=-1 D. m=1 Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(t = {2^x};\left( {t > 0} \right)\) \({t^2} + \left( {4m - 1} \right).t + 3{m^2} - 1 = 0\,\,\left( 1 \right)\) \(\begin{array}{l} \Delta = {b^2} - 4ac = {\left( {4m - 1} \right)^2} - 4\left( {3{m^2} - 1} \right)\\ = 4{m^2} - 8m + 5 = {\left( {2m - 2} \right)^2} + 1 \ge 0,\forall t \in \mathbb{R} \end{array}\) Áp dụng định lý Vi-et cho (1) ta có: \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {t_1}.{t_2} = 3{m^2} - 1 = {2^{{x_1}}}{.2^{{x_2}}} = {2^{{x_1} + {x_2}}} = 2\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = \pm 1\\ 3{m^2} - 1 > 0\\ 1 - 4m > 0 \end{array} \right. \Rightarrow m = - 1 \end{array}\)
Câu 287: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực để phương trình \({6^x} + (3 - m){2^x} - m = 0\) có nghiệm thuộc khoảng (0;1). A. [3;4] B. [2;4] C. (2;4) D. (3;4) Spoiler: Xem đáp án \({6^x} + (3 - m){2^x} - m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}}.\) Xét hàm số: \(f\left( x \right) = \frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}}\) trên (0;1). \(f'\left( x \right) = \frac{{{6^x}{{.2}^x}.\left( {\ln 6 - \ln 2} \right) + {6^x}.\ln 6 + {{3.2}^x}.\ln 2}}{{{{\left( {{2^x} + 1} \right)}^2}}} > 0\) nên f(x) đồng biến trên (0;1) Do đó \(f\left( x \right) > \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 2\) và \(f\left( x \right) < \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 4.\) Do đó 2<m<4 là giá trị cần tìm.
Câu 288: Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số \(y = {a^x},\,\,y = {b^x},\,\,y = {c^x}\) được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(a < b < c\) B. \(a < c< b\) C. \(b < c<a\) D. \(c<a<b\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y=a^x\) với a>0 và a khác 1. Ta có nếu a>1 thì y đến dương vô cùng khi x đến dương vô cùng còn nếu a<1 thì y dần về 0 khi x đến dương vô cùng từ nhận xét trên và dựa vào đồ thị suy ra b,c >1 còn a <1 trên đồ thị, lấy một giá trị dương bất kỳ của x là α, ta thấy \({b^\alpha } > {c^\alpha }\). Xét hàm số \(y = {x^\alpha }\) với \(x \in \left( {1;\infty } \right)\), có \(y'=\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}} > 0\) nên hàm đồng biến trên. Từ đó suy ra: b > c.
Câu 289: Cho biểu thức\(P = \sqrt[4]{{x.\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt {{x^3}} }}}},\) với x>0. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(P = {x^{\frac{1}{2}}}\) B. \(P = {x^{\frac{13}{24}}}\) C. \(P = {x^{\frac{1}{4}}}\) D. \(P = {x^{\frac{2}{3}}}\) Spoiler: Xem đáp án \(P = \sqrt[4]{{x.\sqrt[3]{{{x^2}.{x^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[4]{{x.\sqrt[3]{{{x^{\frac{7}{2}}}}}}} = \sqrt[4]{{x.{x^{\frac{7}{7}}}}} = \sqrt[4]{{{x^{\frac{{13}}{6}}}}} = {x^{\frac{{13}}{{24}}}}.\)
Câu 290: Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức \(s(t) = s(0){.2^t},\) trong đó \(s(0)\) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, \(s(t)\) là số lượng vi khuẩn A có sau t (phút). Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con? A. 48 phút B. 19 phút C. 7 phút D. 12 phút Spoiler: Xem đáp án Theo giả thiết suy ra: \(62500 = s\left( 0 \right){.2^3} \Rightarrow s\left( 0 \right) = \frac{{625000}}{8}\) Khi số vi khuẩn là 10 triệu con thì \({10^7} = s\left( 0 \right){.2^t} \Rightarrow {2^t} = 128 \Rightarrow t = 7\) (phút).
