Câu 21: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \( - {2^{2x + 1}} + {3.2^x} - 1 \ge 0\). A. \(S = \left[ { - 1;0} \right]\) B. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {0; + \infty } \right)\) C. \(S = \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\) D. \(S = \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} - {2^{2x + 1}} + {3.2^x} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow - 2.{\left( {{2^x}} \right)^2} + {3.2^x} - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {{2^x} - 1} \right)\left( {{{2.2}^x} - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le {2^x} \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 0 \Rightarrow S = \left[ { - 1;0} \right]\end{array}\)
Câu 22: Cho a và b là hai số thực thỏa mãn đồng thời hai điều kiện \(a + b = 1\) và \({4^{ - 2a}} + {4^{ - 2b}} = \frac{1}{2}\). Tính giá trị của biểu thức \(T = 2a - b\). A. \(T = - \frac{1}{2}\) B. \(T = - \frac{1}{4}\) C. \(T = \frac{1}{4}\) D. \(T = \frac{1}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({4^{ - 2a}} + {4^{ - 2b}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {4^{ - 2a}} + {4^{ - 2\left( {1 - a} \right)}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{16}^a}}} + \frac{{{{16}^a}}}{{16}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{16}}{\left( {{{16}^a}} \right)^2} - \frac{1}{2}\left( {{{16}^a} + 1} \right) = 0\) \( \Rightarrow {16^a} = 4 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{1}{2} \Rightarrow T = \frac{1}{2}.\)
Câu 23: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\left( {x - 2} \right)^{ - 5}}\) A. \(D = \left( {2; + \infty } \right)\) B. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\) C. \(D = \mathbb{R}\) D. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định khi và chỉ khi \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2 \Rightarrow D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.\)
Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {2^x}\) A. \(y' = {2^x}\) B. \(y' = {2^x}\ln x\) C. \(y' = {2^x}\ln 2\) D. \(y' = x{.2^{x - 1}}\) Spoiler: Xem đáp án \(y = {2^x} \Rightarrow y' = {2^x}\ln 2.\)
Câu 25: Một giáo viên sau 10 năm tích góp được số tiền 100 triệu đồng và quyết định gửi vào ngân hàng với lãi suất 7,5% một năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ nhập vào vốn ban đầu. Nếu lãi suất không thay đổi thì tối thiểu sau bao nhiêu năm thì giáo viên đó có được số tiền là 165 triệu đồng (tính cả gốc lẫn lãi)? A. 5 năm. B. 6 năm. C. 7 năm. D. 8 năm. Spoiler: Xem đáp án Đặt lãi suất 7,5% 1 năm là x Sau 1 năm số tiền là 100+100x=100(x+1) Sau 2 năm số tiền là 100(x+1)+100(x+1).x=\(100{(x + 1)^2}\) Sau n năm là \(100{(x + 1)^n}.\) Để số tiền giáo viên đó tối thiểu 165 triệu thì: \(100{(x + 1)^n} > 165 \Rightarrow n > 6,9.\)
Câu 26: Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn biểu thức \(P = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}{\left( {1 - 2\sqrt {\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}} \right)^{ - 1}}?\) A. P = x B. P = 2x C. P = x + 1 D. P = x – 1 Spoiler: Xem đáp án \(P = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}{\left( {1 - 2\sqrt {\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2}{\left( {1 - \sqrt {\frac{y}{x}} } \right)^{ - 2}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}{{{{\left( {\frac{{\sqrt x - \sqrt y }}{{\sqrt x }}} \right)}^2}}} = x.\)
Câu 27: Một công nhân làm việc ở một công ty với mức lương khởi điểm là 3 triệu đồng/ tháng, cứ sau 3 năm thì mức lương tăng thêm 33% so với mức lương cũ. Nếu công nhân này làm việc liên tục trong 15 năm thì tổng số tiền công nhân đố nhận được là bao nhiêu? (lấy kết quả gần đúng nhất). A. 449,450 triệu đồng. B. 1484,149 triệu đồng. C. 1034,689 triệu đồng. D. 597,769 triệu đồng. Spoiler: Xem đáp án Số tiền nhận được sẽ bằng: \(S = \left( {3.12.3} \right) + \left( {3.12.3} \right)\left( {1 + 33\% } \right) + \left( {3.12.3} \right){\left( {1 + 33\% } \right)^2} + ... + \left( {3.12.3} \right){\left( {1 + 33\% } \right)^4}\) \( = \left( {3.12.3} \right)\frac{{1 - {{\left( {1 + 33\% } \right)}^5}}}{{1 - \left( {1 + 33\% } \right)}} \approx 1034,698\) (triệu đồng).
Câu 28: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}?\) A. \(y = {\log _2}x.\) B. \(y = {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^x}.\) C. \(y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}.\) D. \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x.\) Spoiler: Xem đáp án Loại câu A và D vì hai hàm số \(y = {\log _2}x\) và \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\) không có tập xác định là \(\mathbb{R}.\) Hàm số \(y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) vì \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} < 1.\) Vậy B là phương án đúng.
Câu 29: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^2}{2^x}.\) A. \(y' = 2x{.2^x}\ln 2.\) B. \(y' = {2^x}\left( {2x + \frac{{{x^2}}}{{\ln 2}}} \right).\) C. \(y' = {2^x}\left( {2x + {x^2}\ln 2} \right).\) D. \(y' = {2^x}\left( {2x - {x^2}\ln 2} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y = {x^2}{.2^x} \Rightarrow {y'} = 2x{.2^x} + {x^2}{.2^x}.\ln 2.\)
Câu 30: Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + 2{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 3.\) Tính \(P = {x_1}{x_2}.\) A. \(P = - 3.\) B. \(P = 2.\) C. \(P = 3.\) D. \(P = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x},t > 0 \Rightarrow {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = \frac{1}{t}\,\,suy\,\,ra\,\,PT \Leftrightarrow t + \frac{2}{t} = 3 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 2\end{array} \right..\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = 1\\{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {\log _2}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 0\\{x_2} = {\log _2}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\end{array} \right. \Rightarrow P = 0.\)
