Câu 291: Tìm các nghiệm của phương trình \({3^{x - 1}} = 27.\) A. x=9 B. x=3 C. x=4 D. x=10 Spoiler: Xem đáp án \({3^{x - 1}} = 27 \Leftrightarrow x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4.\)
Câu 292: Cho bất phương trình \({(9 + \sqrt 3 + 11\sqrt 2 )^x} + 2{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)^x} - 2{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} < 1\,(*).\) Đặt \(t = {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^x},t > 0\) biến đổi (*) theo biến t thì (*) trở thành phương trình nào sau đây? A. \((t - 1)(t + 2)({t^2} + t + 1) < 0\) B. \((t - 1)t({t^2} + t + 1) < 0\) C. \((t - 2)(t + 3)({t^2} + t + 1) < 0\) D. \(t(t + 2)({t^2} + t + 1) < 0\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\left( {9\sqrt 3 + 11\sqrt 2 } \right)^x} = {\left[ {{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^3} \right]^x} = {\left[ {{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^x} \right]^3}\) \({\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)^x} = {\left[ {{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^2}} \right]^x} = {\left[ {{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^x}} \right]^2}\) \({\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^x}{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} = {\left[ {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)} \right]^x} = 1\) Đặt \(t = {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^x},t > 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} = \frac{1}{t}\) Khi đó bất phương trình đã cho trở thành: \({t^3} + 2{t^2} - \frac{2}{t} < 1 \Leftrightarrow {t^4} + 2{t^3} - t - 2 < 0 \Leftrightarrow (t - 1)(t + 2)({t^2} + t + 1) < 0.\)
Câu 293: Giải bất phương trình \({\left( {\sqrt[3]{x} + 1} \right)^5} + \sqrt[3]{x}{.2^{x - 1}} \ge 1.\) A. \(x\geq 1\) B. \(x\leq 1\) C. \(x\geq 0\) D. \(x\leq 0\) Spoiler: Xem đáp án \({\left( {\sqrt[3]{x} + 1} \right)^5} + \sqrt[3]{x}{.2^{x - 1}} \ge 1\,(1)\) Với x<0 thì \(\sqrt[3]{x} < 0;\,\,\,{2^{x - 1}} > 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt[3]{x} + 1} \right)^5} < 1;\,\,\sqrt[3]{x}{.2^{x - 1}} < 0.\) Do đó VT(1)<1. Vậy bất phương trình không có nghiệm trong khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right).\) Với \(x\geq 0\) thì \(\sqrt[3]{x} \ge 0;\,\,\,{2^{x - 1}} > 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt[3]{x} + 1} \right)^5} \ge 1;\,\,\sqrt[3]{x}{.2^{x - 1}} \ge 0.\) Do đó \(VT\,(1) \ge 1\). Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \ge 0.\)
Câu 294: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}{.5^{{x^2}}}.\) Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai? A. \(f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow x\ln 2 + {x^2}\ln 5 < 0\) B. \(f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow x + {x^2}{\log _2}5 < 0\) C. \(f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow \ln 2 + x\ln 5 < 0\) D. \(f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow x + {x^2}{\log _5}2 < 0\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f(x) < 1 \Leftrightarrow {2^x}{.5^{{x^2}}} < 1 \Leftrightarrow \ln \left( {{2^x}{{.5}^{{x^2}}}} \right) < \ln 1\) \(\Leftrightarrow \ln {2^x} + \ln {5^{{x^2}}} < 0 \Leftrightarrow x\ln 2 + {x^2}\ln 5 < 0 \Rightarrow A\)đúng \(+ \,\,f(x) < 1 \Leftrightarrow {2^x}{.5^{{x^2}}} < 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{2^x}{{.5}^{{x^2}}}} \right) < {\log _2}1\) \(\Leftrightarrow {\log _2}{2^x} + {\log _2}{5^{{x^2}}} < 0 \Leftrightarrow x + {x^2}{\log _2}5 < 0 \Rightarrow B\) đúng \(+ \,\,f(x) < 1 \Leftrightarrow {2^x}{.5^{{x^2}}} < 1 \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{2^x}{{.5}^{{x^2}}}} \right) < {\log _5}1\) \(\Leftrightarrow {\log _5}{2^x} + {\log _5}{5^{{x^2}}} < 0 \Leftrightarrow x{\log _5}2 + {x^2} < 0 \Rightarrow D\) đúng Từ đáp án A đúng, ta thấy đáp án C sai, đáp án C chỉ đúng khi x>0.
Câu 295: Giải bất phương trình \({3^x} + {4^x} > {5^x}.\) A. x>3 B. x<2 C. x>2 D. 2<x<5 Spoiler: Xem đáp án Chia 2 vế của phương trình cho ta được: \({3^x} + {4^x} > {5^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} > 1.\) Xét hàm số: \(f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x},\) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\) \(f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{3}{5}} \right) + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{4}{5}} \right) < 0,\forall x \in\mathbb{R}\) Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên R. Mặt khác: \(f(2) = 1 \Rightarrow f(x) > 1 \Leftrightarrow x < 2\) Vậy nghiệm của bất phương trình là x<2.
Câu 296: Giải bất phương trình \({9^x} - {2.6^x} + {4^x} > 0.\) A. \(x\in\mathbb{R}\) B. \(x \in\mathbb{R} \backslash {\rm{\{ }}0\}\) C. \(x>0\) D. \(x\geq0\) Spoiler: Xem đáp án \({9^x} - {2.6^x} + {4^x} > 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{9}{4}} \right)^x} - 2.{\left( {\frac{6}{4}} \right)^x} + 1 > 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2x}} - 2{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} + 1 > 0.\) Đặt \(t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} > 0.\) Khi đó \({t^2} - 2t + 1 > 0 \Leftrightarrow {(t - 1)^2} > 0 \Leftrightarrow t \ne 1 \Rightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne 0.\)
Câu 297: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}{.7^{x + 1}}\). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai? A. \(f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow x + \left( {x + 1} \right){\log _2}7 < 0\) B. \(f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow x + 1 + x{\log _7}2 < 0\) C. \(f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow x\ln 2 + \left( {x + 1} \right)\ln 7 < 0\) D. \(f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow x\ln 2 + \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\ln 7 < 0\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f(x) < 1 \Leftrightarrow {2^x}{.7^{x + 1}} < 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{2^x}{{.7}^{x + 1}}} \right) < {\log _2}1\) \(\Leftrightarrow {\log _2}{2^x} + {\log _2}{7^{x + 1}} < 0 \Leftrightarrow x + (x + 1){\log _2}7 < 0 \Rightarrow A\) đúng. \(+ \,\,f(x) < 1 \Leftrightarrow {2^x}{.7^{x + 1}} < 1 \Leftrightarrow {\log _7}\left( {{2^x}{{.7}^{x + 1}}} \right) < {\log _7}1\) \(\Leftrightarrow {\log _7}{2^x} + {\log _7}{7^{x + 1}} < 0 \Leftrightarrow x{\log _7}2 + x + 1 < 0 \Rightarrow B\) đúng. \(+ \,\,f(x) < 1 \Leftrightarrow {2^x}{.7^{x + 1}} < 1 \Leftrightarrow \ln \left( {{2^x}{{.7}^{x + 1}}} \right) < \ln 1\) \(\Leftrightarrow \ln {2^x} + \ln {7^{x + 1}} < 0 \Leftrightarrow x\ln 2 + (x + 1)\ln 7 < 0 \Rightarrow C\) đúng Ta thấy đáp án D sai, đáp án D chỉ đúng khi x>0.
Câu 298: Tìm nghiệm là nghiệm nguyên nhỏ nhất của phương trình ${27^x} + {12^x} > {2.8^x}$ A. \(x_0=-1\) B. \(x_0=0\) C. \(x_0=1\) D. \(x_0=2\) Spoiler: Xem đáp án \({27^x} + {12^x} > {2.8^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{3x}} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} > 2\) Đặt \(t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x},t > 0.\) Bất phương trình trở thành: \({t^3} + t > 2 \Leftrightarrow t > 1.\) Với \(t > 0 \Rightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} > 1 \Leftrightarrow x > 0.\) Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là \(x_0=1.\)
Câu 299: Giải bất phương trình\({9^x} - {2.3^x} + 1 > 0.\) A. \(x \ne 0\) B. \(x >0\) C. \(x >3\) D. \(2\leq x\leq 3\) Spoiler: Xem đáp án \({9^x} - {2.3^x} + 1 > 0 \Leftrightarrow {\left( {{3^x} - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow {3^x} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne 0.\)
Câu 300: Giải bất phương trình \({8^{25x}} > 0,125.\) A. \(x>- \frac{1}{{25}}\) B. \(x<- \frac{1}{{25}}\) C. \(x> \frac{25}{{8}}\) D. \(x> \frac{25}{{8}}\) Spoiler: Xem đáp án \({8^{25x}} > \frac{1}{8} = {8^{ - 1}} \Leftrightarrow 25x > - 1 \Leftrightarrow x > - \frac{1}{{25}}.\)
