Câu 311: Giải bất phương trình\({\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{{x^2} - 2x + 2}} > {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{x + 1}}.\) A. \(x > \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\) hoặc \(x > \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\) B. \(x > \frac{{3 + 2\sqrt 5 }}{2}\) hoặc \(x > \frac{{3 - 2\sqrt 5 }}{2}\) C. \(\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} < x < \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\) D. \(\frac{{3 - 2\sqrt 5 }}{2} < x < \frac{{3 + 2\sqrt 5 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{{x^2} - 2x + 2}} > {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{x + 1}} \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2 < x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} < x < \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \end{array}\)
Câu 312: Tìm m để phương trình \({16^x} - {3.4^x} - 2m + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt. A. \(- \frac{5}{8} < m < \frac{1}{2}\) B. \(m < \frac{1}{2}\) C. \(\frac{1}{2} < m < \frac{5}{8}\) D. \(m>\frac{5}{8}\) Spoiler: Xem đáp án \({16^x} - {3.4^x} - 2m + 1 = 0(1)\) Đặt: \(t = {4^x},t > 0,\) khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - 3t - 2m + 1 = 0(2)\) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt. Điều này xảy ra khi: \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ S > 0\\ P > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9 - 4( - 2m + 1) > 0\\ 3 > 0\\ 1 - 2m > 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 + 8m > 0\\ m < \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow - \frac{5}{8} < m < \frac{1}{2}. \end{array}\)
Câu 313: Tìm S là tổng các nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} - x}} + {x^2} - x - {3^{x - {x^2}}} = {2^{4x - 6}} + 4x - 6 - {3^{6 - 4x}}\). A. S=5 B. S=6 C. S=7 D. S=8 Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình: \({2^{{x^2} - x}} + {x^2} - x - {3^{x - {x^2}}} = {2^{4x - 6}} + 4x - 6 - {3^{6 - 4x}}\) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2} - x\\ v = 4x - 6 \end{array} \right. \Rightarrow {2^u} + u - {3^{ - u}} = {2^v} + v - {3^{ - v}}\) Xét hàm số \(f(t) = {2^t} + t - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^t}\) \(f'(t) = {2^t}\ln 2 + 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^t}\ln \frac{1}{3} > 0,\forall t \in \mathbb{R}\) \(\Rightarrow f'(t)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), mà \(f(u) = f(v) \Rightarrow u = v\) Ta có phương trình: \({x^2} - x = 4x - 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 6 \end{array} \right.\) Vậy S=1+6=7.
Câu 314: Tìm m để phương trình \({2^{{x^2} - 4}} = {8^{2.x + m}}\) có nghiệm duy nhất. A. \(m = - \frac{{13}}{3}\) B. \(m \geq - \frac{{13}}{3}\) C. \(m = - \frac{{25}}{12}\) D. \(m < \frac{{5}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(PT \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 4}} = {2^{6x + 3m}} \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 4 - 3m = 0\,(*).\) PT có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: \(\Delta {'_{(*)}} = 9 + 4 + 3m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 13}}{3}\)
Câu 315: Với giá trị nào sau đây của m thì thì phương trình $$ có nghiệm nguyên? A. m=0 B. m=1 C. m=2 D. m=5 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(PT \Leftrightarrow {2.2^x} + {4.2^x} + {2^x}{.2^m} = 10 \Leftrightarrow {2^x}(6 + {2^m}) = 10 \Leftrightarrow {2^x} = \frac{{10}}{{6 + {2^m}}}\) Xét 4 đáp án ta thấy với \(m = 2 \Rightarrow {2^x} = 1 \Rightarrow x = 0\) là thỏa mãn PT có nghiệm nguyên.
Câu 316: Tìm P là tích các nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} - x}} - {2^{x + 8}} = 8 + 2x - {x^2}.\) A. P=-4 B. P=-6 C. P=-8 D. P=-10 Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2} - x\\ v = x + 8 \end{array} \right. \Rightarrow v - u = 8 + 2x - {x^2}.\) Khi đó phương trình trở thành: \({2^u} - {2^v} = v - u \Leftrightarrow {2^u} + u = {2^v} + v \Rightarrow f(u) = f(v).\) Xét hàm số: \(f(t) = {2^t} + t,\,f'(t) = {2^t}\ln > 0,\forall t \in \mathbb{R}\) \(\Rightarrow f'(t)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) mà \(f(u) = f(v) \Rightarrow u = v \Leftrightarrow {x^2} - x = x + 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ x = - 2 \end{array} \right.\)
Câu 317: Tìm P là tích các nghiệm của phương trình \({x^2}{.2^{x + 1}} + {2^{\left| x \right| + 2}} = {x^2}{.2^{\left| x \right| + 4}} + {2^{x - 1}}\) A. \(P=\frac{1}{2}\) B. \(P=-\frac{1}{2}\) C. \(P=\frac{1}{4}\) D. \(P=-\frac{1}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l} PT \Leftrightarrow {x^2}({2^{x + 1}} - {2^{\left| x \right| + 4}}) = {2^{x - 1}} - {2^{^{\left| x \right| + 2}}}\\ \Leftrightarrow 4{x^2}({2^{x - 1}} - {2^{^{\left| x \right| + 2}}}) = ({2^{x - 1}} - {2^{^{\left| x \right| + 2}}}) \end{array}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow ({2^{x - 1}} - {2^{^{\left| x \right| + 2}}})(4{x^2} - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pm \frac{1}{2}\\ {2^{x - 1}} - {2^{^{\left| x \right| + 2}}} = 0 \end{array} \right.\\ {2^{x - 1}} - {2^{^{\left| x \right| + 2}}} = 0 \Leftrightarrow x - 1 = \left| x \right| + 2 \Leftrightarrow x - 3 = \left| x \right|(2) \end{array}\) Ta có (2) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 3\\ \left[ \begin{array}{l} x = x - 3\\ - x = x - 3 \end{array} \right. \end{array} \right.(VN)\) Vậy phương trình có 2 nghiệm: \(x = \frac{1}{2};x = - \frac{1}{2} \Rightarrow P = - \frac{1}{4}.\)
Câu 318: Cho phương trình ${3^x} = 3\sqrt {{3^{3x + 1}}}$. Cho \(a=3^x\), tính giá trị biểu thức \(P = 3\sqrt[3]{a} - 1.\) A. \(P =3\) B. \(P = 2\) C. \(P =1\) D. \(P = 0\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {3^x} = 3\sqrt {{3^{3x + 1}}} \Leftrightarrow {\left( {{3^x}} \right)^2} = {9.3^{3x + 1}}\\ \Leftrightarrow {3^{2x}} - {27.3^{3x}} = 0 \Leftrightarrow {3^{2x}}\left( {1 - {{27.3}^x}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 1 - {27.3^x} = 0 \Leftrightarrow {3^x} = \frac{1}{{27}} = a \end{array}\) Vậy: \(P = 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{27}}}} - 1 = 0.\)
Câu 319: Tìm S là tổng các nghiệm của phương trình \({3^x} + 9{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{x + 1}} - 4 = 0.\) A. S=2 B. S=1 C. S=-1 D. S=0 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {3^x} + 9{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{x + 1}} - 4 = 0 \Leftrightarrow {3^x} + \frac{9}{{{{3.3}^x}}} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{3^x}} \right)^2} + 3 - {4.3^x} = 0 \end{array}\) Đặt \(t = {3^x},t > 0.\) Bất phương trình trở thành: \(\begin{array}{l} {t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = 3 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{3^x} = 1}\\ {{3^x} = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right.. \end{array}\)
Câu 320: Cho phương trình \(- {9.4^{\frac{1}{x}}} - {5.6^{\frac{1}{x}}} + {4.9^{\frac{1}{x}}} = 0.\) Đặt \(t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\frac{1}{x}}},t > 0\) ta được phương trình nào sau đây? A. \(- 9{t^2} - 5t + 4 = 0\) B. \(4{t^2} - 9t - 5 = 0\) C. \(4{t^2} - 5t - 9 = 0\) D. \(- {t^2} - \frac{2}{3}t + \frac{{27}}{2} = 0\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(- {9.4^{\frac{1}{x}}} - {5.6^{\frac{1}{x}}} + {4.9^{\frac{1}{x}}} = 0 \Leftrightarrow 4{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\frac{2}{x}}} - 5{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\frac{1}{x}}} - 9 = 0\) Đặt \(t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\frac{1}{x}}} > 0.\) Ta được phương trình: \(4{t^2} - 5t - 9 = 0.\)
