Câu 361: Cho \(0 < a < b\) và \(x > 0\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. \({a^x} > {b^x}\) B. \({a^x} < {b^x}\) C. \({a^x} = {b^x}\) D. \({a^x} \geq {b^x}\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số lũy thừa \(y = {u^\alpha }\left( {\alpha > 0} \right)\) tăng trên \(\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow {a^x} < {b^x}.\) Hoặc \(0 < \frac{a}{b} < 1 \Rightarrow {\left( {\frac{a}{b}} \right)^x} < {\left( {\frac{a}{b}} \right)^0} \Rightarrow {a^x} < {b^x}.\)
Câu 362: Một khách hàng có 100 000 000 đồng gửi ngân hàng kì hạn 3 tháng (1 quý) với lãi suất 0,65%/một tháng theo phương thức lãi kép (tức là người đó không rút lãi trong tất cả các quý định kì). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu quý vị khách này mới có số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng? A. 12 quý B. 24 quý C. 36 quý D. 48 quý Spoiler: Xem đáp án Giả sử khách hàng có A đồng gửi vào ngân hàng X với lãi suất d = a% một tháng theo phương thức lãi kép. Sau n tháng ta nhận được số tiền cả gốc và lãi là B đồng. Khi đó ta có: Sau một tháng số tiền là B1 = A+A.d = A(1+d) Sau hai tháng số tiền là B2 = A(1+d)+A(1+d).d = A(1+d)2 ……. Sau n tháng số tiền là: B = A(1+ d)n (*) Áp dụng công thức (*) ta có: A = 100 000 000, d = 0,65%.3 = 0,0195 Cần tìm n để A(1+ d)n –A > A\(\Leftrightarrow {(1 + d)^n} > 2 \Leftrightarrow n > {\log _{1 + d}}2\) . Vì vậy ta có: \(n > {\log _{1,0195}}2 \ge 36\). Vậy sau 36 quý (tức là 9 năm) người đó sẽ có số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng.
Câu 363: Tìm số nghiệm của phương trình \({2^{2{x^2} - 7x + 1}} = 1\). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {2^{2{x^2} - 7x + 5}} = 1 \Leftrightarrow {2^{2{x^2} - 7x + 5}} = {2^0}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 7x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{5}{2}\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Câu 364: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {({x^2} + x + 1)^{\sqrt 2 }}\). A. \(y' = {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^{\sqrt 2 }}\ln \sqrt 2\) B. \(y' = \sqrt 2 {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^{\sqrt 2 - 1}}\) C. \(y' = {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^{\sqrt 2 }}\ln \left( {{x^2} + x + 1} \right)\) D. \(y' = \sqrt 2 \left( {2x + 1} \right){\left( {{x^2} + x + 1} \right)^{\sqrt 2 - 1}}\) Spoiler: Xem đáp án Áp dụng công thức: \({\left( {u'} \right)^\alpha } = \alpha {u^{\alpha - 1}}.\left( u \right)'\) \(y' = {\left[ {({x^2} + x + 1)}^{\sqrt 2 } \right]'} = \sqrt 2 \left( {2x + 1} \right){\left( {{x^2} + x + 1} \right)^{\sqrt 2 - 1}}\)
Câu 365: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {({x^2} - 4x + 3)^\pi }\). A. \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ {1;3} \right\}\) B. \(D = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\) C. \(D =\mathbb{R}\) D. \(D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện xác định \({x^2} - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < 1\\ x > 3 \end{array} \right.\).
Câu 366: Biết rằng ngày 1 tháng 1 năm 2001, dân số Việt Nam là 78.685.800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7%. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức \(S = A.{e^{Nr}}\) (trong đó A: là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm). Cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì sau bao nhiêu năm dân số nước ta ở mức 120 triệu người. (Kết quả có thể tính ở mức xấp xỉ). A. 22 năm B. 23 năm C. 24 năm D. 25 năm Spoiler: Xem đáp án Lần lượt thay các số liệu vào ta được phương trình: \(78685800.{e^{N.0,017}} = 120000000 \Leftrightarrow {e^{N.0,017}} = \frac{{120000000}}{{78685800}}\) \(\Leftrightarrow N.0,017 = \ln \frac{{120000000}}{{78685800}}\) \(\Leftrightarrow N \approx 24,825\) Tức là xấp xỉ 25 năm.
Câu 367: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({4^x} - {2^{x + 3}} + 3 = m\) có đúng 2 nghiệm \(x \in \left( {1;3} \right)\). A. \(- 13 < m < - 9\) B. \(3 < m < 9\) C. \(- 9 < m < 3\) D. \(- 13 < m < 3\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \({2^x} = t,\,x \in \left( {1;3} \right) \Rightarrow t \in \left( {2;8} \right)\) Phương trình đã cho trở thành \({t^2} - 8t + 3 = m\) với \(t \in \left( {2;8} \right)\). Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(f(t) = {t^2} - 8t + 3\) trên \(\left( {2;8} \right)\). \(\begin{array}{l} f'(t) = 2t - 8\\ f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 4 \end{array}\) Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình có 2 nghiệm khi \(- 13 < m < - 9\).
Câu 368: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({6^{2x + 3}} < {2^{4x - 5}}{.3^{4x - 5}}\). A. \(S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) B. \(S = \left( { - \infty ;4} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\) C. \(S = \left( {4; + \infty } \right)\) D. \(S = \left( { - \infty ;4} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l} {6^{2x + 3}} < {2^{4x - 5}}{.3^{4x - 5}}\\ \Leftrightarrow {6^{2x + 3}} < {6^{4x - 5}}\\ \Leftrightarrow 2x + 3 < 4x - 5\\ \Leftrightarrow x > 4 \end{array}\)
Câu 369: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{{e^x} + 2}}{{\sin x}}\). A. \(y' = \frac{{{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\) B. \(y' = \frac{{{e^x}\left( {\sin x + \cos x} \right) - 2\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\) C. \(y' = \frac{{{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) - 2\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\) D. \(y' = \frac{{{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) + 2\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\) Spoiler: Xem đáp án \(\left ( \frac{e^x+2}{sinx} \right )' = \frac{{\left( {{e^x} + 2} \right).\sin x - \left( {\sin x} \right)'.\left( {{e^x} + 2} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}\) \(= \frac{{{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) - 2\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\).
Câu 370: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của a để mệnh đề \({a^m} < {a^n} \Leftrightarrow m < n\) với \(a \in \mathbb{R};m,n \in \mathbb{Z}\) là mệnh đề đúng ? A. \(\left( {0; + \infty } \right){\rm{\backslash }}\left\{ 1 \right\}\) B. \(\mathbb{R}\) C. \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ 1 \right\}\) D. \(\left( {1; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Nếu a>1 thì \({a^m} < {a^n} \Leftrightarrow m < n,\forall m,n \in \mathbb{Z}\).
