Câu 371: Tính tổng S của các nghiệm của phương trình \(x({2^{x - 1}} + 4) = {2^{x + 1}} + {x^2}\). A. S = 7 B. S = 3 C. S = 5 D. S = 6 Spoiler: Xem đáp án \(x({2^{x - 1}} + 4) = {2^{x + 1}} + {x^2} \Leftrightarrow x{.2^{x - 1}} + 4x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {{2^{x - 1}} - x} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ {2^{x - 1}} - x = 0(*) \end{array} \right.\) Xét hàm số \(f(x) = {2^{x - 1}} - x\) trên ℝ. Ta có: \(f'(x) = {2^{x - 1}}\ln 2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} = 1 + {\log _2}\left( {\frac{1}{{\ln 2}}} \right)\) \(\begin{array}{l} f'(x) < 0 \Leftrightarrow x < {x_0}\\ f'(x) > 0 \Leftrightarrow x > {x_0} \end{array}\) Nên phương trình f(x) = 0 có tối đa 1 nghiệm trong khoảng \(\left( { - \infty ;{x_0}} \right)\) và 1 nghiệm trong khoảng \(\left( {{x_0}; + \infty } \right)\). Mà f(1)= f(2)=0 nên phương trình (*) có 2 nghiệm x = 1 và x = 2 Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 7
Câu 372: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {3^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\). A. \(y' = {3^{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}}\) B. \(y' = \frac{{x\ln 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{.3^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) C. \(y' = \frac{{x\ln 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{.3^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) D. \(y' = \frac{{x\ln 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{.3^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) Spoiler: Xem đáp án \(({3^{\sqrt {{x^2} + 1} }})' = \frac{{x\ln 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{.3^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Câu 373: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {x\sqrt[3]{x}}\). A. \(y' = \frac{{3\sqrt[3]{x}}}{2}\) B. \(y' = \frac{3}{{2\sqrt[3]{x}}}\) C. \(y' = \frac{{2\sqrt[3]{x}}}{3}\) D. \(y' = \frac{2}{{3\sqrt[3]{x}}}\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = (\sqrt {x\sqrt[3]{x}} )' = \left( {{{\left( {{x^{\frac{4}{3}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right)' =\left (x^\frac{2}{3} \right )' =\frac{2}{{3\sqrt[3]{x}}}\)
Câu 374: Tìm tập nghiệm S của phương trình \({2^{{x^2} + x - 1}} = \frac{1}{2}.\) A. \({\rm{S = \{ - 1;2\} }}{\rm{.}}\) B. \({\rm{S = \{ 0;1\} }}{\rm{.}}\) C. \({\rm{S = \{ - 1;0\} }}{\rm{.}}\) D. \({\rm{S = \{ - 2;1\} }}{\rm{.}}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {2^{{x^2} + x - 1}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + x - 1}} = {2^{ - 1}} \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 = - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1 \end{array} \right. \end{array}\)
Câu 375: Cho hàm số $f(x) = {5^x}{.9^{{x^2}}}$. Khẳng định nào sau đây là sai? A. \(f(x) > 1 \Leftrightarrow {\log _9}5 + {x^2} > 0\) B. \(f(x) > 1 \Leftrightarrow x.\ln 5 + {x^3}\ln 9 > 0\) C. \(f(x) > 1 \Leftrightarrow x{\log _9}5 + {x^3} > 0\) D. \(f(x) > 1 \Leftrightarrow x + {x^3}{\log _9}5 > 0\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} f(x) > 1 \Leftrightarrow {5^x}{.9^{{x^2}}} > 1 \Leftrightarrow \ln \left( {{5^x}{{.9}^{{x^3}}}} \right) > 0 \Leftrightarrow x\ln 5 + {x^3}\ln 9 > 0\\ \Leftrightarrow x.\frac{{\ln 5}}{{\ln 9}} + {x^3} > 0 \Leftrightarrow x{\log _9}5 + {x^3} > 0\\ \Leftrightarrow x + {x^3}.\frac{1}{{{{\log }_9}5}} > 0 \Leftrightarrow x + {x^3}{\log _5}9 > 0 \end{array}\) Do đó B, C, D đúng. Vậy A là phương án cần tìm.
Câu 376: Tính đạo hàm của hàm số $$. A. \(y' = \frac{{1 + (x - 5)\ln 3}}{{{3^{{x^2}}}}}\) B. \(y' = \frac{{1 + (x - 5)\ln 3}}{{{3^x}}}\) C. \(y' = \frac{{1 - (x + 5)\ln 3}}{{{3^x}}}\) D. \(y' = \frac{{1 - (x - 5)\ln 3}}{{{3^{{x^2}}}}}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y = \frac{{x + 5}}{{{3^x}}} \Rightarrow y' = \frac{{{{1.3}^x} - {3^x}.\ln 3.(x + 5)}}{{{{({3^x})}^2}}}\\ = \frac{{{3^x}\left[ {1 - (x + 5)\ln 3} \right]}}{{{3^x}{{.3}^x}}} = \frac{{1 - (x + 5)\ln 3}}{{{3^x}}} \end{array}\)
Câu 377: Kết quả thống kê cho biết ở thời điểm 2013 dân số Việt Nam là 90 triệu người, tốc độ tăng dân số là 1,1 %/năm. Nếu mức tăng dân số ổn định ở mức như vậy thì dân số Việt Nam sẽ gấp đôi (đạt ngưỡng 180 triệu) vào năm nào? A. Năm 2050 B. 2077 C. 2093 D. 2070 Spoiler: Xem đáp án Dân số ban đầu , tốc độ gia tăng dân số là a% /năm thì sau n năm, dân số được tính theo công thức sau: \({N_n} = {N_0}{\left( {1 + \frac{a}{{100}}} \right)^n}\) Áp dụng vào bài toán, ta có: \(180 = 90.\left( {1 + \frac{{1,1}}{{100}}} \right) \Leftrightarrow {1,01^n} = 2 \Leftrightarrow n \approx 63.4\) Chọn n=64. Vậy đến năm 2013+64=2077 thì dân số việt năm tăng gấp đôi.
Câu 378: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {12^x}\). A. \(y' = x{.12^{x - 1}}\) B. \(y' = {12^x}\ln 12\) C. \(y' = \frac{{{{12}^x}}}{{\ln 2}}\) D. \(y' = {12^x}\) Spoiler: Xem đáp án Đạo hàm của hàm số mũ \(y = {a^x}(a > 0)\) là \(y' = {a^x}\ln a\).
Câu 379: Cho hàm số $y = x^a$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. B. Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm M(1;1). C. Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\). D. Hàm số đồng biến trên tập xác định. Spoiler: Xem đáp án Tổng quát: Hàm số $y = x^a$ với $a >1$, \(a \notin \mathbb{Z}\) có các tính chất sau: + Không có tiệm cận đứng hoặc ngang + Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm $M(1;1)$ + Có tập xác định là \(D = \left( {0; + \infty } \right)\). + Đồng biến trên tập xác định. Do đó C là phương án cần tìm.
Câu 380: Tìm tất cả giá trị thực của a để phương trình ${\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1$ có 2 nghiệm phân biệt. A. a>1 B. a<1 C. a>0 D. a<0 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1 \Rightarrow {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = \frac{1}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}}}\) Đặt \(t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x},\,\,(t > 0)\), phương trình đã cho trở thành: \(t + \frac{{1 - a}}{t} - 4 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 1 - a = 0\,(*)\) Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm dương phân biệt. Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} {t_1} + {t_2} = 4 > 0\\ {t_1}.{t_2} = 1 - a > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow a < 1\)
