Câu 31: Cho x là số thực dương, viết biểu thức \(Q = \sqrt {x\sqrt[3]{{{x^2}}}} .\sqrt[6]{x}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. A. \(Q = {x^{\frac{5}{{36}}}}.\) B. \(Q = {x^{\frac{2}{3}}}.\) C. \(Q = x.\) D. \(Q = {x^2}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(Q = \sqrt {x\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[6]{x}} = \sqrt {x.{x^{\frac{2}{3}}}} .{x^{\frac{1}{2}}} = {x^{\frac{5}{6}}}.{x^{\frac{1}{6}}} = x.\)
Câu 32: Cho biết chu kỳ bán hủy của chất phóng xạ Plutôni \(P{u^{239}}\) là 24360 năm (tức là một lượng \(P{u^{239}}\)sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức \(S = A{{\rm{e}}^{rt}}\), trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi khoảng thời gian 10 gam \(P{u^{239}}\)chỉ còn 1 gam gần với số năm nào sau đây nhất? A. 76753 B. 82235 C. 80934 D. 80922 Spoiler: Xem đáp án Vì chu kỳ bán hủy của \(P{u^{239}}\) là 24360 năm nên \({e^{r.24360}} = \frac{S}{A} = \frac{1}{2} \Rightarrow r = - \frac{{\ln 2}}{{24360}}.\) Sự phân hủy được tính theo công thức: \(S = A{e^{ - \frac{{t\ln 2}}{{24360}}}}.\) Từ giả thiết ta có: \(1 = 10{{\rm{e}}^{ - \frac{{t\ln 2}}{{24360}}}} \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 10}}{{\ln 2}}.24360 \approx 80922,17\) năm.
Câu 33: Cho hàm số \(y = {e^{2x + 2016}}\). Tính \(y'\left( {\ln 3} \right).\) A. \(y'\left( {\ln 3} \right) = {e^{2016}} + e\) B. \(y'\left( {\ln 3} \right) = 18.{e^{2016}}\) C. \(y'\left( {\ln 3} \right) = 9.{e^{2016}}\) D. \(y'\left( {\ln 3} \right) = 2.{e^{2016}} + 9\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = 2.{e^{2x + 2016}} \Rightarrow y'\left( {\ln 3} \right) = 18.{e^{2016}}.\)
Câu 34: Trong các hàm số sau hàm số nào nghịch biến trên \(\mathbb{R}?\) A. \(y = {\left( {\frac{{2\pi }}{5}} \right)^x}\) B. \(y = {\left( {\frac{1}{{3\sqrt 2 }}} \right)^x}\) C. \(y = {\left( {\frac{7}{{4e}}} \right)^{ - x}}\) D. \(y = {e^x}\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = {a^x}(a > 0,a \ne 1)\) Hàm số đồng biến khi a>1 và nghịch biến khi a<1. Vậy loại câu A và D. Ta có: \(y = {\left( {\frac{7}{{4e}}} \right)^{ - x}} = {\left( {\frac{{4e}}{7}} \right)^x}\) là hàm số đồng biến. \(y = {\left( {\frac{1}{{3\sqrt 2 }}} \right)^x}\) có \(a = \frac{1}{{3\sqrt 2 }} < 1\) nên hàm số nghịch biến.
Câu 35: Cho hai số thực a > 1 và b > 0. Biết phương trình \({a^{3x - {x^2} - 2}} = b\) có hai nghiệm phân biệt, hỏi mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(a > {4^b}\) B. \(a > {b^4}\) C. \(a < {b^4}\) D. \(a < {4^b}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({a^{3x - {x^2} - 2}} = b \Leftrightarrow 3x - {x^2} - 2 = {\log _a}b \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 + {\log _a}b = 0\) Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi: \(\Delta = 9 - 4\left( {2 + {{\log }_a}b} \right) > 0 \Leftrightarrow 1 > 4{\log _a}b\) \( \Leftrightarrow {a^{\frac{1}{4}}} > b \Leftrightarrow a > {b^4}\) (Do a > 1).
Câu 36: Một vi sinh đặc biệt X có cách sinh sản vô tính kì lạ. Tại thời điểm 0h có đúng 2 con, với mỗi con X, sống được tới giờ thứ n (với n là số nguyên dương) thì ngay lập tức tại thời điểm đó nó đẻ một lần ra \({2^n}\) con khác. Tuy nhiên do chu kì của con X ngắn nên ngay sau khi đẻ xong lần thứ 4 nó lập tức chết. Hỏi lúc 6h01 phút có bao nhiêu con sinh vật đang sống? A. 4992. B. 3712. C. 19264 D. 5008. Spoiler: Xem đáp án Gọi \({s_n}\)là số sinh vật được sinh ra ở giờ thứ n ta có: \({s_0} = 2,\,{s_1} = {s_0}.2 = 4;\,{s_2} = {s_1}{.2^1} + {s_0}{.2^2} = 16\) \(\begin{array}{l}{s_3} = {s_2}.2 + {s_1}{.2^2} + {s_0}{.2^3} = 64\\{s_4} = {s_3}.2 + {s_2}{.2^2} + {s_1}{.2^3} + {s_0}{.2^4} = 256\end{array}\) \(\begin{array}{l}{s_5} = {s_4}.2 + {s_3}{.2^2} + {s_2}{.2^3} + {s_1}{.2^4} = 960\\{s_6} = {s_5}.2 + {s_4}{.2^2} + {s_3}{.2^3} + {s_2}{.2^4} = 3712\end{array}\) Khi đó số sinh vật đang số ở giờ thứ 6 là: \(T = {s_3} + {s_4} + {s_5} + {s_6} = 4992\)con.
Câu 37: Tìm số nghiệm của phương trình \({2^x} + {3^x} + {4^x} + ... + {2016^x} + {2017^x} = 2016 - x.\) A. 1 B. 2016. C. 2017. D. 0 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = {2^x} + {3^x} + {4^x} + ... + {2016^x} + {2017^x}\\g\left( x \right) = 2016 - x\end{array} \right. \Rightarrow PT \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 + {3^x}\ln 3 + ... + {2016^x}\ln 2016 + {2017^x}\ln 2017 > 0\\g'\left( x \right) = - 1 < 0\end{array} \right.,\forall x \in \mathbb{R}\) Suy ra f(x) là hàm đồng biến, g(x) là hàm nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Suy ra \(PT \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có nghiệm thì là nghiệm duy nhất. Dễ thấy x = 0 là nghiệm của \(PT \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\), suy ra PT ban đầu có 1 nghiệm.
Câu 38: Phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2}}} = \frac{1}{5}\) có bao nhiêu nghiệm? A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Spoiler: Xem đáp án \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2}}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow {x^2} = {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{5} \Leftrightarrow {x^2} = {\log _2}5 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt {{{\log }_2}5} \\x = - \sqrt {{{\log }_2}5} \end{array} \right. \Rightarrow \) PT đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Câu 39: Cho biểu thức \(P = \sqrt[3]{{{x^5}\sqrt[4]{x}}}\left( {x > 0} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(P = {x^{\frac{{20}}{9}}}.\) B. \(P = {x^{\frac{{21}}{{12}}}}.\) C. \(P = {x^{\frac{{25}}{{12}}}}.\) D. \(P = {x^{\frac{{23}}{{12}}}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(P = \sqrt[3]{{{x^5}.\sqrt[4]{x}}} = \sqrt[3]{{{x^5}.{x^{\frac{1}{4}}}}} = {\left( {{x^{\frac{{21}}{4}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {x^{\frac{{21}}{{12}}}}\).
Câu 40: Với các số thực dương a, b bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(\ln \left( {a + b} \right) = \ln a.\ln b.\) B. \(\ln \left( {a.b} \right) = \ln a.\ln b.\) C. \(\ln \left( {a.b} \right) = \ln a + \ln b.\) D. \(\ln \left( {a + b} \right) = \ln a + \ln b.\) Spoiler: Xem đáp án Với các số thực dương a, b bất kỳ ta có: \(\ln \left( {a.b} \right) = \ln a + \ln b.\)
