Câu 412: Tìm tập nghiệm S của phương trình \({2^{2{x^2} - 7x + 5}} = 1\). A. \(S = \left\{ {2;\frac{3}{2}} \right\}\) B. \(S = \left\{ {3;\frac{5}{2}} \right\}\) C. \(S = \left\{ {2;\frac{5}{2}} \right\}\) D. \(S = \left\{ {2;\frac{7}{2}} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án \({2^{2{x^2} - 7x + 5}} = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - 7x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2}\\ {x = \frac{5}{2}} \end{array}} \right.\) Vậy đáp án là C.
Câu 413: Giải bất phương trình \({32.4^x} - {18.2^x} + 1 < 0\). A. \(1 < x < 4\) B. \(\frac{1}{{16}} < x < \frac{1}{2}\) C. \(2 < x < 4\) D. \(- 4 < x < - 1\) Spoiler: Xem đáp án Đây là bài toán giải bất phương trình mũ \({32.4^x} - {18.2^x} + 1 < 0\) \(\Leftrightarrow {32.2^{2x}} - {18.2^x} + 1 < 0\) \(\Leftrightarrow \left( {{{2.2}^x} - 1} \right)\left( {{{16.2}^x} - 1} \right) < 0\) \(\Leftrightarrow \frac{1}{{16}} < {2^x} < \frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow {2^{ - 4}} < {2^x} < {2^{ - 1}}\) \(\Leftrightarrow - 4 < x < - 1\)
Câu 414: Cho \({\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^n}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. \(m > n\) B. \(m < n\) C. \(m = n\) D. \(m \le n\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(0 < \sqrt 3 - 1 < 1\) nên \({\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^n} \Leftrightarrow m > n\).
Câu 415: Biết thể tích khí $CO_2$ năm 1998 là V($m^3$). 10 năm tiếp theo, thể tích $CO_2$ tăng $m%$, 10 năm tiếp theo nữa, thể tích $CO_2$ tăng $n%$. Tính thể tích $CO_2$ năm 2016? A. \({V_{2016}} = V\frac{{{{\left( {\left( {100 + m} \right)\left( {100 + n} \right)} \right)}^{10}}}}{{{{10}^{20}}}}\left( {{m^3}} \right)\) B. \({V_{2016}} = V.\frac{{{{\left( {100 + m} \right)}^{10}}.{{\left( {100 + n} \right)}^8}}}{{{{10}^{36}}}}\left( {{m^3}} \right)\) C. \({V_{2016}} = V + V.{\left( {1 + m + n} \right)^{18}}\left( {{m^3}} \right)\) D. \({V_{2016}} = V.{\left( {1 + m + n} \right)^{18}}\left( {{m^3}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có như sau: Năm 1999 thể tích khí CO2 là: \({V_1} = V + V.\frac{m}{{100}} = V\left( {1 + \frac{m}{{100}}} \right) = V.\frac{{m + 100}}{{100}}\) Năm 2000, thể tích khí CO2 là: \({V_2} = V{\left( {1 + \frac{m}{{100}}} \right)^2} = V{\left( {\frac{{1 + 100}}{{100}}} \right)^2}\) … Vậy ta có quy luật nên sẽ nhẩm nhanh như sau: từ năm 1998 đến 2016 là 18 năm, trong đó 10 năm đầu chỉ số tăng là m%, 8 năm sau chỉ số tăng là n%. Vậy thể tích sẽ là \({V_{2016}} = V{\left( {\frac{{m + 100}}{{100}}} \right)^{10}}.{\left( {\frac{{n + 100}}{{100}}} \right)^8}\)\(= V.\frac{{{{\left( {m + 100} \right)}^{10}}{{\left( {n + 100} \right)}^8}}}{{{{10}^{36}}}}\). Đáp án B.
Câu 416: Tính đạo hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}\). A. \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\) B. \(f'\left( x \right) = {e^x} + {e^{ - x}}\) C. \(f'\left( x \right) = \frac{{{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\) D. \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta xét đạo hàm của hàm số: \(f'\left( x \right) = \left( {\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}} \right)\). Ta áp dụng công thức đạo hàm như sau: \(\left( {\frac{u}{v}} \right) = \frac{{u'v - v'u}}{{{v^2}}}\) Khi đó \(\left( {\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}} \right)' = \frac{{\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right) - \left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}}{{{{\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\) \(= \frac{{ - 2{e^x}.{e^{ - x}} - 2{e^x}.{e^{ - x}}}}{{{{\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\)
Câu 417: Phương trình \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\) có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\). Tính tổng \({x_1} + {x_2}\)? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Spoiler: Xem đáp án \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^{\frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}\) \(\Leftrightarrow x - 1 - \frac{4}{x} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = - 1\\ {x_2} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3\)
Câu 418: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({5.4^x} + {2.25^x} - {7.10^x} > 0\). A. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) B. \(S = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) C. \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) D. \(S = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án \({5.4^x} + {2.25^x} - {7.10^x} > 0{\rm{ (*)}}\) Chia (*) hai vế cho \({4^x} > 0\) ta được: \(5 + 2.{\left[ {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^x}} \right]^2} - 7.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} > 0\) (**) Đặt \(t = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} > 0\). Ta có: (**) \(\Leftrightarrow 2{t^2} - 7t + 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 < t < 1\\ t > \frac{5}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 < {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} < 1\\ {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} > \frac{5}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < 0\\ x > 1 \end{array} \right.\) Vậy bất phương trình có nghiệm: \(S = \left( { - \infty ;0} \right)\left( {1; + \infty } \right)\).
Câu 419: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình \({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0\). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án \({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0{\rm{ }}\) \(\Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {10.3^x} + 3 \le 0\)(1) Đặt \(t = {3^x} > 0\). Ta có: (1) \(\Leftrightarrow 3{t^2} - 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le 3\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ - 1}} \le {3^x} \le {3^1} \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\) Vậy bất phương trình có nghiệm: \(S = \left[ { - 1;1} \right]\) Do đó bất phương trình có 3 nghiệm nguyên là: -1; 0; 1.
Câu 420: Tập nghiệm bất phương trình \({5^x} + {5^{2 - x}} < 26{\rm{ }}\) là \(S = \left( {a;b} \right)\) với a,b là các số nguyên. Tính tổng a+b. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án \({5^x} + {5^{2 - x}} < 26{\rm{ }} \Leftrightarrow {5^x} + \frac{{25}}{{{5^x}}} - 26 < 0 \Leftrightarrow {\left( {{5^x}} \right)^2} - {26.5^x} + 25 < 0\)(1) Đặt \(t = {5^x} > 0\) Ta có: (1)\(\Leftrightarrow {t^2} - 26t + 25 < 0\)\(\Leftrightarrow 1 < t < 25\) \(\Leftrightarrow 1 < {5^x} < 25 \Leftrightarrow {5^0} < {5^x} < {5^2} \Leftrightarrow 0 < x < 2\) Vậy bất phương trình có nghiệm: \(S = \left( {0;2} \right)\) Vậy a+b=2.
Câu 421: Giải bất phương trình: \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{ - {x^2} + 3}}\). A. \(- 1 \le x \le 2\) B. \(1 \le x \le 2\) C. \(- 2 \le x \le 1\) D. \(- 2 \le x \le - 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt 5 - 2 = \frac{1}{{\sqrt 5 + 2}} = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{ - 1}}\) Phương trình (1) \(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{{x^2} - 3}} \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - 3\) \(\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2\)
