Câu 422: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: \({\left( {\sqrt {\rm{3}} } \right)^{\frac{x}{2}}} > {9^{x - 2}}\). A. \(S = \left( { - \frac{{16}}{7}; + \infty } \right)\) B. \(S = \left( { - \infty ; - \frac{{16}}{7}} \right)\) C. \(S = \left( {\frac{{16}}{7}; + \infty ;} \right)\) D. \(S = \left( { - \infty ;\frac{{16}}{7}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \({\left( {\sqrt {\rm{3}} } \right)^{\frac{x}{2}}} > {9^{x - 2}}\) \(\Leftrightarrow {3^{\frac{x}{4}}} > {3^{2x - 4}} \Leftrightarrow \frac{x}{4} > 2x - 4 \Leftrightarrow x > 8x - 16 \Leftrightarrow x < \frac{{16}}{7}\) Vậy bất phương trình có nghiệm: \(S = \left( { - \infty ;\frac{{16}}{7}} \right)\)
Câu 423: Bất phương trình \(\frac{{{3^{x - 1}} - 1}}{{{3^{x + 1}} + 1}} < 3\) có bao nhiêu nghiệm nguyên? A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số Spoiler: Xem đáp án \(\frac{{{3^{x - 1}} - 1}}{{{3^{x + 1}} + 1}} < 3{\rm{ }} \Leftrightarrow \frac{{{3^x}}}{3} - 1 < 3.\left( {{{3.3}^x} + 1} \right) \Leftrightarrow {3^x} - 3 < {27.3^x} + 9\) \(\Leftrightarrow {26.3^x} > - 12 \Leftrightarrow {3^x} > - \frac{6}{{13}},\forall x \in R\) Vậy bất phương trình có nghiệm: \(S = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Câu 424: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: \({3^{2x - 1}} \le 2\) A. \(S = \left[ {\frac{{1 + {{\log }_3}2}}{2}; + \infty } \right)\) B. \(S = \left( { - \infty ;\frac{{1 - {{\log }_3}2}}{2}} \right]\) C. \(S = \left( { - \infty ; - \frac{{1 + {{\log }_3}2}}{2}} \right]\) D. \(S = \left( { - \infty ;\frac{{1 + {{\log }_3}2}}{2}} \right]\) Spoiler: Xem đáp án \({3^{2x - 1}} \le 2 \Leftrightarrow 2x - 1 \le {\log _3}2 \Leftrightarrow x \le \frac{{1 + {{\log }_3}2}}{2}\) Vậy bất phương trình có nghiệm: \(S = \left( { - \infty ;\frac{{1 + {{\log }_3}2}}{2}} \right]\)
Câu 425: Phương trình \({3^x} + {4^x} = {5^x}\) có bao nhiêu nghiệm? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án \({3^x} + {4^x} = {5^x}\)\(\Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} = 1\) (*) Ta có x=1 là nghiệm của phương trình (*) vì \({\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = 1\) Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất. Thật vậy, xét \(f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}\) Ta có f(x) nghịch biến trên R vì \(f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}\ln \frac{3}{5} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}\ln \frac{4}{5} < 0\), \(\forall x \in R\). Do đó: + Với \(x > 2\) thì \(f(x) < f(2)\) hay \({\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} < 1\), nên pt (*) không thể có nghiệm \(x > 2\) + Với \(x < 2\) thì \(f(x) > f(2)\) hay \({\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} > 1\), nên pt (*) không thể có nghiệm \(x < 2\) Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất x=2.
Câu 426: Phương trình \({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\) có một nghiệm x=0 và một nghiệm có dạng \(x = - {\log _a}b\) với a>1 và b<5. Tính tổng a+b. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Spoiler: Xem đáp án Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được \({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1 \Leftrightarrow {\log _3}({3^x}{.2^{{x^2}}}) = {\log _3}1\) \(\Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0 \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_3}2} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 1 + x{\log _3}2 = 0 \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \frac{1}{{{{\log }_3}2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - {\log _2}3 \end{array} \right.\) Vậy phương trình có nghiệm: \(x = 0,x = - {\log _2}3\)
Câu 427: Phương trình \({3^{x + 2}} - {3^{2 - x}} = 24\) có bao nhiêu nghiệm. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án \({3^{x + 2}} - {3^{2 - x}} = 24 \Leftrightarrow {9.3^x} - \frac{9}{{{3^x}}} - 24 = 0 \Leftrightarrow 9.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {24.3^x} - 9 = 0\)(*) Đặt \(t = {3^x} > 0\) Pt (*)\(\Leftrightarrow {\rm{9}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}} - 24t - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 3\\ t = - \frac{1}{3}{\rm{ ( loai)}} \end{array} \right.\) Với \(t = 3 \Leftrightarrow {3^x} = 3 \Leftrightarrow x = 1\) Vậy phương trình có nghiệm: x=1.
Câu 428: Cho phương trình \({3^{2x + 8}} - {4.3^{x + 5}} + 27 = 0\). Đặt \(t = {3^x} > 0\) ta được phương trình hệ quả nào trong các phương trình sau đây? A. \(59049{t^2} - 324t + 27 = 0\) B. \(6561{t^2} - 972t + 27 = 0\) C. \(81{t^2} - 972t + 27 = 0\) D. \(6561{t^2} - 243t + 27 = 0\) Spoiler: Xem đáp án \({3^8}{.3^{2x}} - {4.3^5}{.3^x} + 27 = 0\) \(\Leftrightarrow 6561.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {972.3^x} + 27 = 0\) (*) Đặt \(t = {3^x} > 0\) Khi đó ta có: \(6561{t^2} - 972t + 27 = 0\).
Câu 429: Phương trình \({(x - 2)^{{x^2} + 2x}} = {(x - 2)^{11x - 20}}\) có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\). Tính tổng \({x_1} + {x_2}\). A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 Spoiler: Xem đáp án \(PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 2 > 0\\ x \ne 3\\ {x^2} + 2x = 11x - 20 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 2\\ x \ne 3\\ x = 4\\ x = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 4\\ x = 5 \end{array} \right.\) Vậy tổng 2 nghiệm là 9.
Câu 430: Phương trình \({2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4}\) có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\). Tính tích \({x_1}.{x_2}\). A. 0 B. 3 C. -3 D. 1 Spoiler: Xem đáp án \({2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 3x - 2}} = {2^{ - 2}}\) \(\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 3 \end{array} \right.\) Vậy phương trình có nghiệm: \(x = 0,x = - 3\) Do đó tích 2 nghiệm bằng 0.
Câu 431: Cho các hàm số: (I) \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\) (II) \(y = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}\) (III) \(y = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}} \right)^x}\) (IV) \(y = {3^{ - x}}{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}} \right)^x}\) Chọn câu trả lời đúng: A. (I) (III) là các hàm số đồng biến. B. (II) (IV) là các hàm số đồng biến. C. (I) (IV) là các hàm số nghịch biến. D. (II)(III) là các hàm số nghịch biến. Spoiler: Xem đáp án \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\). Do \(\frac{\pi }{3} > 1 \Rightarrow y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\). Là một hàm số đồng biến \(y = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}\). Do \(0 < \frac{2}{e} < 1 \Rightarrow y = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}\) Là một hàm số nghịch biến \(y = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}} \right)^x}\). Do \(\frac{3}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} = 3\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) < 1 \Rightarrow y = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}} \right)^x}\) là một hàm số nghịch biến \(y = {3^{ - x}}{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}} \right)^x} = {\left( {\frac{1}{{3\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}} \right)^x} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{3}} \right)^x}\) là một hàm số đồng biến ( \(\sqrt 3 + \sqrt 2 > 3\))
