Câu 41: Giải bất phương trình \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} - 2{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} < 1.\) A. \(x = {\log _{\frac{2}{3}}}2.\) B. \(x < {\log _2}\frac{2}{3}.\) C. \(x < {\log _{\frac{2}{3}}}2.\) D. \(x > {\log _{\frac{2}{3}}}2.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x},t > 0\) Bất phương trình trở thành: \(t - \frac{2}{t} < 1 \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 < 0 \Leftrightarrow - 1 < t < 2 \Rightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} < 2 \Leftrightarrow x > {\log _{\frac{2}{3}}}2\)
Câu 42: Cho biểu thức \({\left( {a - 1} \right)^{ - \frac{2}{3}}} < {\left( {a - 1} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(a > 1.\) B. \(a > 2.\) C. \(0 < a < 1.\) D. \(1 < a < 2.\) Spoiler: Xem đáp án \({\left( {a - 1} \right)^{ - \frac{2}{3}}} < {\left( {a - 1} \right)^{ - \frac{1}{3}}} \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^{\frac{1}{3}}} > 1 \Rightarrow a - 1 > 1 \Leftrightarrow a > 2.\)
Câu 43: Giải bất phương trình \({\left( {2,5} \right)^{5x - 7}} > {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{x + 1}}.\) A. \(x \ge 1.\) B. \(x > 1.\) C. \(x < 1.\) D. \(x = 1.\) Spoiler: Xem đáp án \({\left( {2,5} \right)^{5x - 7}} > {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{x + 1}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{7 - 5x}} > {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{x + 1}} \Leftrightarrow 7 - 5x < x + 1 \Leftrightarrow x > 1.\)
Câu 44: Theo dự báo với mức tiêu thụ dầu không đổi như hiện nay thì trữ lượng dầu của nước A sẽ hết sau 100 năm nữa. Nhưng do quản lí kém, bị một số kẻ gian lấy trộm để bán lậu nên kể từ năm thứ 2 trở đi mức tiêu thụ tăng lên 4% mỗi năm so với năm liền trước. Hỏi sau bao nhiêu năm số dầu dự trữ của nước A sẽ hết? A. 39 B. 45 C. 41 D. 42 Spoiler: Xem đáp án Gọi số dầu tiên tiêu thụ mỗi năm theo dự tính là x. Suy ra tổng dự trữ dầu là 100x. Gọi t là số năm thực tế tiêu thụ hết dầu, suy ra: \(x + x\left( {1,04} \right) + x{\left( {1,04} \right)^2} + ... + x{\left( {1,04} \right)^t} = 100x\) \( \Leftrightarrow x\frac{{1 - {{\left( {1,04} \right)}^{t + 1}}}}{{1 - 1,04}} = 100x \Leftrightarrow \frac{{1 - {{\left( {1,04} \right)}^{t + 1}}}}{{1 - 1,04}} = 100 \Rightarrow t \approx 42\) (năm).
Câu 45: Tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{{{{2.3}^x} - {2^{x + 2}}}}{{{3^x} - {2^x}}} \le 1\) là: A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) B. \(\left( {0;{{\log }_{\frac{3}{2}}}3} \right]\) C. \(\left( {0;3} \right]\) D. \(\left( {0; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện \(x \ne 0.\) Khi đó: \(\frac{{{{2.3}^x} - {2^{x + 2}}}}{{{3^x} - {2^x}}} \le 1 \Leftrightarrow \frac{{2{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} - 4}}{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} - 1}} \le 1 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} - 3}}{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} - 1}} \le 0\) \( \Leftrightarrow 1 < {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} \le 3 \Leftrightarrow 0 < x < {\log _{\frac{3}{2}}}3 \Rightarrow S = \left( {0;{{\log }_{\frac{3}{2}}}3} \right]\)
Câu 46: Tổng các nghiệm của phương trình \({2^{{x^4} - 6{x^2}}} = 0,5\) bằng: A. \(4\sqrt 2 \) B. 1 C. 6 D. 0 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{2^{{x^4} - 6{x^2}}} = 0,5 \Leftrightarrow {x^4} - 6{x^2} = - 1 \Leftrightarrow {x^4} - 6{x^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 3 + 2\sqrt 2 \\{x^2} = 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\\x = \pm \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = - {x_2}\\{x_3} = - {x_4}\end{array} \right.\end{array}\) \( \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 0\)
Câu 47: Giải phương trình \({2^{1 - 2x}} = 0,125\) được nghiệm là: A. \(x = 2\) B. \(x = - 1\) C. \(x = 1\) D. \(x = 3\) Spoiler: Xem đáp án \({2^{1 - 2x}} = 0,125 \Leftrightarrow {2^{1 + 2x}} = {2^{ - 3}} \Leftrightarrow 1 - 2x = - 3 \Leftrightarrow x = 2.\)
Câu 48: Một học sinh tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {x\sqrt[3]{x}} dx\) như sau: Bước 1: Biến đổi \(x\sqrt[3]{x} = x.{x^{\frac{1}{3}}} = {x^{\frac{4}{3}}}\) Bước 2: Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^{\frac{4}{3}}}} dx = \left. {\frac{3}{7}{x^{\frac{4}{3}}}} \right|_{ - 1}^1\) Bước 3: Thay cận, được đáp số \(I = \frac{6}{7}\) Hỏi cách giải của học sinh trên là đúng hay sai? Nếu sai, thì sai bắt đầu ở bước nào? A. Sai ở bước 1. B. Sai ở bước 3. C. Sai ở bước 2. D. Đúng Spoiler: Xem đáp án Bước 1 sai vì \(x.\sqrt[3]{x} = x.{x^{\frac{1}{3}}} = {x^{\frac{4}{3}}}\) phải có điều kiện \(x > 0.\)
Câu 49: Trong môi trường nuôi cấy ổn định người ta nhận thấy cứ sau 5 ngày số lượng loài vi khuẩn A tăng lên gấp đôi, còn sau đúng 10 ngày số lượng loài vi khuẩn B tăng lên gấp ba. Giả sử ban đầu có 100 con vi khuẩn A và 200 con vi khuẩn B, hỏi sau bao nhiêu ngày nuôi cấy trong môi trường đó thì số lượng hai loài bằng nhau, biết rằng tốc độ tăng trưởng của mỗi loài ở mọi thời điểm là như nhau? A. \(5 \times {\log _{\frac{8}{3}}}2\) ngày. B. \(5 \times {\log _{\frac{4}{3}}}2\) ngày. C. \(10 \times {\log _{\frac{3}{2}}}2\) ngày. D. \(10 \times {\log _{\frac{4}{3}}}2\) ngày. Spoiler: Xem đáp án Giả sử sau x ngày số lượng hai loài vi khuẩn bằng nhau. Khi đó: \({100.2^{\frac{x}{5}}} = {200.3^{\frac{x}{{10}}}} \Leftrightarrow {2^{\frac{x}{5}}} = {2.3^{\frac{x}{{10}}}} \Leftrightarrow {2^{\frac{x}{5} - 1}} = {3^{\frac{x}{{10}}}}\) \( \Leftrightarrow \frac{x}{5} - 1 = \frac{x}{{10}}.lo{g_2}3 \Leftrightarrow x\left( {2 - {{\log }_2}3} \right) = 10 \Leftrightarrow x = \frac{{10}}{{2 - {{\log }_2}3}}\) Lại có: \(2 - {\log _2}3 = {\log _2}\frac{4}{3} = \frac{1}{{{{\log }_{\frac{4}{3}}}2}} \Rightarrow x = \frac{{10}}{{2 - {{\log }_2}3}} = 10 \times {\log _{\frac{4}{3}}}2\) ngày.
Câu 50: Cho các số thực dương a, b khác 1. Biết rằng bất kỳ đường thẳng nào song song với Ox mà cắt các đường \(y = {a^x};\,\,y = {b^x}\) và trục tung lần lượt tại M, N, A sao cho \(AN = 2{\rm{A}}M\) (hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \({a^2} = b.\) B. \(a{b^2} = 1.\) C. \(b = 2{\rm{a}}.\) D. \(ab = \frac{1}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Với \(y = {y_0}\) ta có \({x_1} = {\log _b}{y_0};\,\,{x_2} = {\log _a}{y_0}\). Theo giả thiết ta có: \(AN = 2{\rm{A}}M\) nên \({\log _b}{y_0} = - 2{\log _a}{y_0} \Leftrightarrow {\log _b}{y_0} = {\log _{{a^{ - \frac{1}{2}}}}}{y_0}\). Khi đó \(b = {a^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt a }} \Rightarrow a{b^2} = 1.\)
