Câu 51: Cho các số thực \(x,y \ne 0\) thỏa mãn \({2^x} = {3^y}.\) Mệnh đề nào sau đây là sai? A. \(xy > 0.\) B. \(\frac{x}{y} = {\log _2}3.\) C. \({2^{\frac{1}{y}}} = {3^{\frac{1}{x}}}.\) D. \({4^x} = {6^y}.\) Spoiler: Xem đáp án Với \(x,y \ne 0.\) Ta có: \({2^x} = {3^y} \Leftrightarrow {\log _2}{2^x} = {\log _2}{3^y} \Leftrightarrow x = y{\log _2}3 \Rightarrow xy = {y^2}{\log _2}3 > 0\) Suy ra \(\frac{x}{y} = {\log _2}3.\) \(\begin{array}{l}\,{2^x} = {3^y} \Leftrightarrow {4^x} = {9^y}.\,\\{2^x} = {3^y} \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^{\frac{1}{{xy}}}} = {\left( {{3^y}} \right)^{\frac{1}{{xy}}}} \Leftrightarrow {2^{\frac{1}{y}}} = {3^{\frac{1}{x}}}.\end{array}\) Vậy D là khẳng định sai.
Câu 52: Cho a, b là các số thực dương và x, y là các số thực bất kỳ. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. \({a^{x + y}} = {a^x} + {a^y}.\) B. \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^x} = {a^x}.{b^{ - x}}.\) C. \({a^x}.{b^y} = {\left( {ab} \right)^{xy}}.\) D. \({\left( {a + b} \right)^x} = {a^x} + {b^x}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: Với a, b là các số thực dương và x, y là các số thực bất kỳ thì \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^x} = {a^x}.{b^{ - x}}.\)
Câu 53: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{{4^x}}}.\) A. \(y' = \frac{{1 + 2\left( {x + 1} \right)\ln 2}}{{{2^{{x^2}}}}}.\) B. \(y' = \frac{{1 - 2\left( {x + 1} \right)\ln 2}}{{{2^{2x}}}}.\) C. \(y' = \frac{{1 - 2\left( {x + 1} \right)\ln 2}}{{{2^{{x^2}}}}}.\) D. \(y' = \frac{{1 + 2\left( {x + 1} \right)\ln 2}}{{{2^{2x}}}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {\left( {\frac{{x + 1}}{{{4^x}}}} \right)^\prime } = \frac{{{4^x} - {4^x}\ln 4.\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {{4^x}} \right)}^2}}} = \frac{{1 - 2\left( {x + 1} \right)\ln 2}}{{{2^{2{\rm{x}}}}}}.\)
Câu 54: Số nghiệm của phương trình \({3.4^x} - {2.6^x} = {9^x}\) là: A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Phương trình \({3.4^x} - {2.6^x} = {9^x} \Leftrightarrow 3.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2{\rm{x}}}} - 2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = 1 \left( * \right)\) Đặt \(t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} > 0 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 3{t^2} - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow t = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = 1 \Rightarrow x = 0.\)
Câu 55: Ông A gửi 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,4%/quý trong thời gian 15 tháng. Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất 0,75%/tháng trong thời gian 9 tháng. Tổng số tiền lãi ở ngân hàng là 30,71032869 triệu đồng (chưa làm tròn). Hỏi số tiền ông A gửi lần lượt ở ngân hàng X và ngân hàng Y là bao nhiêu? A. 180 triệu và 160 triệu. B. 160 triệu và 180 triệu. C. 150 triệu và 170 triệu. D. 170 triệu và 150 triệu. Spoiler: Xem đáp án Gọi số tiền mà ông A gửi ở hai ngân hàng X và Y lần lượt là x và y triệu đồng. Khi đó, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 320\\x{\left( {1 + 0,024} \right)^5} + y{\left( {1 + 0,0075} \right)^9} = 30,71032869 + 320\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 150\\y = 170\end{array} \right..\)
Câu 56: Giải bất phương trình \({6^{\log _6^2x}} + {x^{{{\log }_6}x}} \le 12\) ta được tập nghiệm \(S = \left[ {a;b} \right]\). Khi đó giá trị của a.b là: A. 1 B. 2 C. 12 D. \(\frac{3}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện:\(x > 0.\) Đặt \({\log _6}x = t \Rightarrow x = {6^t},\) phương trình trở thành: \({6^{{t^2}}} + {\left( {{6^t}} \right)^t} \le 12 \Leftrightarrow {6^{{t^2}}} \le 6 \Leftrightarrow {t^2} \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le t \le 1\) \( \Leftrightarrow - 1 \le {\log _6}x \le 1 \Leftrightarrow \frac{1}{6} \le x \le 6 \Rightarrow S = \left[ {\frac{1}{6};6} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{6}\\b = 6\end{array} \right. \Rightarrow a.b = 1\)
Câu 57: Hiện tại hệ thống các cửa hàng điện thoại của Thế giới di động đang bán Iphone 7 64GB với giá 18.790.000đ. Người mua có thể chọn 03 hình thức mua điện thoại. Hình thức 1 trả tiền ngay lập tức 18.790.000đ. Hình thức 2 trả trước 50% còn lại 50% chia đều cho 08 tháng, mỗi tháng tiền phí bảo hiểm 64.500đ/tháng. Hình thức 3 trả trước 30%, số tiền còn lại chia đều cho 12 tháng, tiền bảo hiểm 75.500đ/tháng. Nếu lãi suất ở hình thức 3 là 1,37%/tháng, thì tổng số tiền hàng tháng khách hàng phải trả là (làm tròn đến 500đ). A. 1.276.500 đ B. 1.352.000 đ C. 1.276.000 đ D. 1.351.500 đ Spoiler: Xem đáp án Số tiền khác phải trả ngay lúc đầu theo hình thức mua thứ 3 là: \(18790000.0,3 = 5637000\) đồng. Số tiền còn lại phải trả trong 12 tháng là: \(18790000 - 5637000 = 13153000\) đồng. Lãi suất 1,37% mỗi tháng, suy ra lãi suất 1 năm là: \(12.1,37\% = 16,44\% .\) Tổng tiền còn lại phải trả, gồm cả lãi là: \(13153000.(1 + 16,44\% ) = 15315353,2\) đồng. Mỗi tháng người mua phải trả góp số tiền là: \(\frac{{15315353,2}}{{12}} = 1276279\) làm tròn thành 1276000 đồng. Kể cả tiền bào hiểm, tổng số tiền người mua phải nộp 1 tháng là: \(1276000 + 75500 = 1351500\) đồng.
Câu 58: Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình \({7^x} + 3 = m.\sqrt {{{49}^x} + 1} \) có đúng một nghiệm là: A. \(\left( {1;3} \right) \cup \left\{ {\sqrt {10} } \right\}\) B. \(\left\{ {\sqrt {10} } \right\}\) C. \(\left( {1;3} \right]\) D. \(\left( {1;3} \right] \cup \left\{ {\sqrt {10} } \right\}\) Spoiler: Xem đáp án \({7^x} + 3 = m.\sqrt {{{49}^x} + 1} \Leftrightarrow \frac{{{7^x} + 3}}{{\sqrt {{{49}^x} + 1} }} = m\) Đặt \(t = {7^x},t > 0\) phương trình trở thành: \(m = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} = f\left( t \right),t > 0.\) Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{{1 - 3t}}{{{{\left( {\sqrt {{t^2} + 1} } \right)}^3}}} \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 3t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\). Ta có bảng biến thiên hàm số \(f\left( t \right)\) như sau: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, với \(t > 0\), Pt có 1 nghiệm khi và chỉ khi \(m \in \left( {1;3} \right] \cup \left\{ {\sqrt {10} } \right\}\)
Câu 59: Cho biểu thức \(Q = \sqrt[4]{{x.\sqrt[3]{{{x^2}\sqrt {{x^3}} }}}},x > 0\). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(Q = {x^{\frac{{13}}{{24}}}}\) B. \(Q = {x^{\frac{{17}}{{12}}}}\) C. \(Q = {x^{\frac{{15}}{6}}}\) D. \(Q = {x^{\frac{{15}}{{24}}}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(Q = \sqrt[4]{{x.\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt {{x^3}} }}}} = \sqrt[4]{{x.\sqrt[3]{{{x^2}.{x^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[4]{{x.{{\left( {{x^{\frac{7}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} = {\left( {{x^{\frac{{13}}{6}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {x^{\frac{{13}}{{24}}}}\)
Câu 60: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(\left( {m + 4} \right){4^x} + \left( {2m - 3} \right){2^x} + m + 1 = 0\) có hai nghiệm trái dấu. A. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\) B. \(m \in \left( { - 4; - \frac{1}{2}} \right)\) C. \(m \in \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right)\) D. \(m \in \left( { - 4; - 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {2^x} > 0\). Khi đó \(\left( {m + 4} \right){t^2} + \left( {2m - 3} \right)t + m + 1 = 0\left( * \right)\) Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi (*) có hai nghiệm dương phân biệt:\(\left\{ \begin{array}{l}m \ne - 4;\Delta > 0\\S = - \frac{{2m - 3}}{{m + 4}} > 0 \Leftrightarrow \\P = \frac{{m + 1}}{{m + 4}} > 0\end{array} \right. - 1 < m < \frac{{ - 7}}{{32}}\) (Đến đây rõ ràng ta có thể chọn ngay được C). Khi đó giả sử (*) có 2 nghiệm \(0 < {t_1} < {t_2}\) suy ra \({x_1} = {\log _2}{t_1};{x_2} = {\log _2}{t_2}\) Để \({x_1}.{x_2} < 0 \Leftrightarrow 0 < {t_1} < 1;{t_2} > 1 \Rightarrow \left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) < 0\) \( \Leftrightarrow {t_1}.{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{m + 4}} - \frac{{3 - 2m}}{{m + 4}} + 1 < 0 \Rightarrow m < - \frac{1}{2}\). Vậy \(m \in \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right)\)
