Câu 61: Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép để mua xe với lãi xuất 0,8%/ tháng và hợp đồng thỏa thuận là trả 2 triệu đồng mỗi tháng. Sau một năm mức lãi suất của ngân hàng được điều chỉnh lên 1,2%/tháng và người vay muốn nhanh chóng trả hết món nợ nên đã thỏa thuận trả 4 triệu đồng trên một tháng (trừ tháng cuối). Hỏi phải mất bao nhiêu lâu thì người đó mới trả hết nợ. A. 35 tháng B. 36 tháng C. 25 tháng D. 37 tháng Spoiler: Xem đáp án Số tiền còn nợ sau n tháng là \({T_n} = T{\left( {1 + r} \right)^n} - m.\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r}\) Trong đó T là số tiền ban đầu, n là số kỳ hạn, m là số tiền trả hàng tháng và r là lãi suất Số tiền nợ sau 12 tháng là \({T_{12}} = 100{\left( {1 + 0,8} \right)^{12}} - 2.\frac{{{{\left( {1 + 0,8} \right)}^{12}} - 1}}{{0,8\% }}\) Số tiền nợ sau n tháng tiếp theo là \({T_n} = {T_{12}}{\left( {1 + 1,2\% } \right)^n} - 4.\frac{{{{\left( {1 + 1,2\% } \right)}^n} - 1}}{{1,2\% }} = 0 \Rightarrow n \approx 25\) Vậy số tiền để trả hết nợ cần 25 + 12 = 37 tháng.
Câu 62: Giải phương trình \({4^{2x - 2}} = 16\)? A. \(x = \frac{1}{2}\,\) B. \(x = 2\) C. \(x = 3\) D. \(x = 5\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({4^{2x - 2}} = 16 \Leftrightarrow 2x - 2 = 2 \Leftrightarrow x = 2.\)
Câu 63: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó? A. \(y = {\left( {\frac{1}{\pi }} \right)^x}\) B. \(y = {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}\) C. \(y = {\left( {0,55} \right)^x}\) D. \(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên tập xác định khi \(a > 1.\)
Câu 64: Đạo hàm của hàm số \(y = {2^{3x + 1}}\) là: A. \(y' = {2^{3x + 1}}\ln 2\) B. \(y' = {2^{3x}}\) C. \(y' = {2.8^x}.\ln 8\) D. \(y' = {2.6^x}.\ln 6\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = {2^{3x + 1}}.3\ln 2 = {2.8^x}.\ln 8.\)
Câu 65: Mệnh đề nào sau đây sai? A. \({\left( {\frac{1}{8}} \right)^{\frac{{ - 1}}{3}}} = 2\,\) B. \(\sqrt[3]{{ - 8}} = - 2\) C. \(\,{6^{\frac{3}{2}}}{.24^{\frac{1}{2}}} = 72\) D. \({\left( { - 64} \right)^{\frac{1}{3}}} = - 4\) Spoiler: Xem đáp án Do \(\frac{1}{3}\) không phải là số nguyên nên hàm số \(y = {x^{\frac{1}{3}}}\) xác định khi \(x > 0.\) Do đó D sai.
Câu 66: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + 3}}\). Tính tổng \(S = f\left( {\frac{1}{{2017}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2017}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{2016}}{{2017}}} \right) + f\left( 1 \right)\) A. \(S = 1008\) B. \(S = \frac{{4035}}{4}\) C. \(S = \frac{{8067}}{4}\) D. \(S = \frac{{8071}}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Lấy a, b sao cho \(a + b = 1,\) ta có: \(\begin{array}{l}f(a) + f(b) = \frac{{{9^a}}}{{{9^a} + 3}} + \frac{{{9^b}}}{{{9^b} + 3}} = \frac{{{9^a}({9^b} + 3) + {9^b}({9^a} + 3)}}{{({9^a} + 3)({9^b} + 3)}}\\ = \frac{{{9^a}{{.9}^b} + {{39}^a} + {9^b}{{.9}^a} + {{39}^b}}}{{{9^a}{{.9}^b} + {{3.9}^a} + {{3.9}^b} + 9}} = \frac{{{9^1} + {9^1} + 3({9^a} + {9^b})}}{{{9^1} + 3({9^a} + {9^b}) + 9}} = 1.\end{array}\) Ta có: \(\begin{array}{l}S = f\left( {\frac{1}{{2017}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2017}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{2016}}{{2017}}} \right) + f\left( 1 \right)\\ = f\left( {\frac{1}{{2017}}} \right) + f\left( {\frac{{2016}}{{2017}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2017}}} \right) + f\left( {\frac{{2015}}{{2017}}} \right) + .... + f(1)\\ = 1008 + \frac{3}{4} = \frac{{4035}}{4}.\end{array}\)
Câu 67: Một người gửi tiết kiệm 500 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất \(0,5\% \)/tháng (lãi tính theo từng tháng và cộng dồn vào gốc). Kể từ lúc gửi cứ sau 1 tháng anh ta rút ra 10 triệu đồng để chi tiêu (tháng cuối cùng nếu tài khoản không đủ 10 triệu thì rút hết). Hỏi sau thời gian bao lâu kể từ ngày gửi tiền, tài khoản tiền gửi của người đó về 0 đồng? (Giả sử lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình người đó gửi tiết kiệm) A. 56 tháng B. 57 tháng C. 58 tháng D. 55 tháng Spoiler: Xem đáp án Sau tháng thứ nhất, số tiền còn lại là \({u_1} = A\left( {1 + r} \right) - m\) triệu đồng Sau tháng thứ 2, số tiền còn lại là \({u_2} = \left( {A\left( {1 + r} \right) - m} \right)\left( {1 + r} \right) - m = A{\left( {1 + r} \right)^2} - m\left( {1 + r} \right) - m\) Sau tháng thứ 3, số tiền còn lại là \({u_3} = \left( {A{{\left( {1 + r} \right)}^2} - m\left( {1 + r} \right) - m} \right)\left( {1 + r} \right) - m\) \( = A{\left( {1 + r} \right)^3} - m{\left( {1 + r} \right)^2} - m\left( {1 + r} \right) - m\) Sau tháng thứ n, số tiền còn lại là \({u_n} = A{\left( {1 + r} \right)^n} - m\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {1 + r} \right)}^{n - 2}} + ... + 1} \right]\left( 8 \right)\) \( = A{\left( {1 + r} \right)^n} - m\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{{1 + r - 1}}\) triệu đồng Sau tháng thứ n, số tiền còn lại là \({u_n} = {500.1,005^n} + 10.\frac{{1 - {{1,005}^n}}}{{0,005}} = 0\) triệu đồng \( \Leftrightarrow n = 57,68.\)
Câu 68: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^2}.{e^{3\sqrt x }}.\) A. \(y' = \frac{2}{3}{x^2}{e^{\sqrt[3]{x}}}\left( {6 + \sqrt[3]{x}} \right)\) B. \(y' = \frac{1}{3}x.{e^{\sqrt[3]{x}}}\left( {6 + \sqrt[3]{x}} \right)\) C. \(y' = \frac{1}{3}{x^2}{e^{\sqrt[3]{x}}}\left( {6 + \sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)\) D. \(y = \frac{2}{3}x.{e^{\sqrt[3]{x}}}\left( {6 + \sqrt[3]{x}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 69: Tìm tập xác định hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}.\) A. \(D = \left( {0; + \infty } \right)\) B. \(D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\) C. \(D = \left( {1; + \infty } \right)\) D. \(D = \left( {0;1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 70: Bạn An mua một chiếc máy tính trị giá 10 triệu đồng bằng hình thức trả góc với lãi suất 0,7%/tháng. Để mang máy về dùng, ban đầu An trả 3 triệu đồng. Kể từ tháng tiếp theo sau khi An trả mỗi tháng 500 ngàn đồng. Hỏi tháng cuối cùng An phải trả bao nhiêu tiền thì hết nợ (làm tròn đến đơn vị ngàn đồng). A. 401 ngàn đồng. B. 375 ngàn đồng. C. 391 ngàn đồng. D. 472 ngàn đồng. Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
