Câu 91: Cho số phức \(z = - 4 - 6i\). Gọi M là điểm biểu diễn số phức \(\overline z \). Tung độ của điểm M là: A. 6 B. 4 C. -4 D. -6 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = - 4 - 6i \Rightarrow \overline z = - 4 + 6i \Rightarrow M( - 4;6).\) Vậy tung độ điểm M là 6.
Câu 92: Cho số phức z có môđun \(\left| z \right| = 1\,\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {1 + z} \right| + 3\left| {1 - z} \right|\) là A. \(3\sqrt {10} \,\) B. \(2\sqrt {10} \) C. 6 D. \(4\sqrt 2 \) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi\) ta có: \({x^2} + {y^2} = 1\) Khi đó \(P = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} + 3\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {y^2} + 2x + 1} + 3\sqrt {{x^2} + {y^2} - 2x + 1} \) \( = \sqrt {2x + 2} + 3\sqrt {2 - 2x} \) Xét \(f\left( x \right) = \sqrt {2x + 2} + 3\sqrt {2 - 2x} \,\,\,\left( {x \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\)có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2x + 2} }} - \frac{3}{{\sqrt {2 - 2x} }} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 4}}{5}\) Khi đó \({P_{\max }} = f\left( { - \frac{4}{5}} \right) = 2\sqrt {10} .\)
Câu 93: Cho số phức z thỏa mãn \(\left( {3 - 4i} \right)z - \frac{4}{{\left| z \right|}} = 8\). Trên mặt phẳng tọa độ, khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn số phức z thuộc tập nào? A. \(\,\left( {\frac{9}{4}; + \infty } \right)\) B. \(\left( {\frac{1}{4};\frac{5}{4}} \right)\) C. \(\left( {0;\frac{1}{4}} \right)\) D. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{9}{4}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\left( {3 - 4i} \right)z - \frac{4}{{\left| z \right|}} = 8 \Leftrightarrow \left( {3 - 4i} \right)z = 8 + \frac{4}{{\left| z \right|}}\left( * \right)\) Lấy môđun hai vế của (*) và sử dụng công thức \(\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|\), ta được \(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow \left| {\left( {3 - 4i} \right)z} \right| = \left| {8 + \frac{4}{{\left| z \right|}}} \right| = 8 + \frac{4}{{\left| z \right|}}\\ \Leftrightarrow 5\left| z \right| = 8 + \frac{4}{{\left| z \right|}} \Leftrightarrow 5{\left| z \right|^2} - 8\left| z \right| - 4 = 0 \Leftrightarrow \left| z \right| = 2\end{array}\) Gọi \(M\left( {x;y} \right)\,\)là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó \(OM = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \left| z \right| = 2 \in \left( {\frac{1}{2};\frac{9}{4}} \right).\)
Câu 94: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 3 - 2i} \right| = 2\) là: A. Đường tròn tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\), bán kính \(R = 2\) B. Đường tròn tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\), bán kính \(R = 2\) C. Đường tròn tâm \(I\left( { - 3; - 2} \right)\), bán kính \(R = 2\) D. Đường tròn tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\), bán kính \(R = 4\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi\,\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right),\)khi đó \(\left| {z + 3 - 2i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {x + 3 + \left( {y - 2} \right)i} \right| = 2\) \( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\) Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\), bán kính \(R = 2.\)
Câu 95: Phần ảo của các số phức \( - 2 + 5i;\,\, - 3i;\,\, - \sqrt 3 i + 4;\,\,10\) lần lượt là: A. \(5; - 3; - \sqrt 3 ;0\) B. \(5; - 3;4;0\,\) C. \(5; - 3; - \sqrt 3 ;10\) D. \(5;0; - \sqrt 3 ;0\) Spoiler: Xem đáp án Phần ảo của các số phức \( - 2 + 5i;\,\, - 3i;\,\, - \sqrt 3 i + 4;\,\,10\) lần lượt là: \(5; - 3; - \sqrt 3 ;0.\)
Câu 96: Số nào trong các số phức sau là số thực? A. \(\frac{{\sqrt 2 + i}}{{\sqrt 2 - i}} + \frac{{2\sqrt 2 }}{{3i}}\) B. \(2 + i\sqrt 5 + \frac{{18}}{{2 + i\sqrt 5 }}\) C. \({\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)^2}\) D. \(\,\left( {\sqrt 3 + 2i} \right) - \left( {\sqrt 3 - 2i} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\frac{{\sqrt 2 + i}}{{\sqrt 2 - i}} + \frac{{2\sqrt 2 }}{{3i}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 + i} \right)}^2}}}{3} - \frac{{2i\sqrt 2 }}{3} = \frac{1}{3}.\)
Câu 97: Cho số phức \(z = 3 - 4i\,\). Tính giá trị của biểu thức \(P = z + \frac{{75}}{z} - 2\overline z \,\) A. 6 B. 8 C. \(6 + 8i\) D. \(6 - 8i\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(P = z + \frac{{75}}{z} - 2\overline z = 3 - 4i + \frac{{75}}{{3 - 4i}} - 2\left( {3 + 4i} \right) = 6.\)
Câu 98: Cho \({z_1},{z_2}\) là các số phức thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1\) và \(\left| {{z_1} - z{ _2}} \right| = \sqrt 3 \). Tính \(P = \left| {\frac{1}{3}{z_1} + \frac{1}{3}{z_2}} \right|\) A. \(P = \frac{1}{3}\) B. \(P = 0\) C. \(P = \frac{1}{9}\) D. \(P = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Sử dụng công thức quen thuộc \({\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)\) (*) Áp dụng (*) với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1}\\{\left| {{z_1} - z{ _2}} \right| = \sqrt 3 }\end{array}} \right. \Rightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{1^2} + {1^2}} \right) - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 1 \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2} = 1} \right|\) Mặt khác \(P = \left| {\frac{1}{3}{z_1} + \frac{1}{3}{z_2}} \right| = \left| {\frac{1}{3}\left( {{z_1} + {z_2}} \right)} \right| = \left| {\frac{1}{3}} \right|.\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \frac{{\left| {{z_1} + {z_2}} \right|}}{3} = \frac{1}{3}.\)
Câu 99: Cho z là số phức thay đổi nhưng luôn thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {1 + z} \right| + \left| {1 - z + {z^2}} \right|\). Tính giá trị biểu thức \(T = \frac{M}{{4{m^2} + 1}}\) A. \(T = 13\) B. \(T = \frac{1}{4}\) C. \(T = \frac{{13}}{4}\) D. \(T = 1\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 100: Gọi \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 4z + 5 = 0\). Tính giá trị biểu thức \(P = {\left( {{z_1} - 1} \right)^{2017}} + {\left( {{z_2} - 1} \right)^{2017}}\) A. \(P = 0\) B. \(P = 2\) C. \(P = {2^{1009}}\) D. \(P = {2^{1008}}\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
