Câu 141: Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = - i\left( {3i + 2} \right)\) A. \(\overline z = 3 + 2i.\) B. \(\overline z = 3 - 2i.\) C. \(\overline z = - 3 - 2i.\) D. \(\overline z = - 3 + 2i.\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 142: Ký hiệu zo là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \(4{z^2} - 24z + 37 = 0\). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức \({\rm{w}} = i{z_0} + 1\). A. \(M\left( {\frac{3}{2};3} \right).\) B. \(Q\left( {\frac{1}{2};3} \right).\) C. \(N\left( { - \frac{3}{2};3} \right).\) D. \(P\left( { - \frac{1}{2};3} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 143: Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất thỏa điều kiện \(\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2i - 1} \right)\) là số thực. A. \(z = \frac{8}{5} + \frac{4}{5}i.\) B. \(z = 1 + 2i.\) C. \(z = \frac{8}{5} - \frac{4}{5}i.\) D. \(z = 1 - 2i.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(z = x + yi.\) \(\begin{array}{l}\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2i - 1} \right) = \left( {x + yi - 2} \right)\left( {x - yi + 2i - 1} \right)\\ & & \,\,\,\,\,\, = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - y\left( {2 - y} \right) + \left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {2 - y} \right) + \left( {x - 1} \right)y} \right]i\end{array}\) \(\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2i - 1} \right)\) là số thực \( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {2 - y} \right) + \left( {x - 1} \right)y = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + y - 4 = 0 \Leftrightarrow y = 4 - 2{\rm{x}}\) Khi đó: \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {4 - 2{\rm{x}}} \right)}^2}} = \sqrt {5{{\rm{x}}^2} - 16{\rm{x}} + 16} = \sqrt {5{{\left( {x - \frac{8}{5}} \right)}^2} + \frac{{16}}{5}} \ge \frac{{4\sqrt 5 }}{5}.\) \({\left| z \right|_{\min }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow x = \frac{8}{5} \Rightarrow y = \frac{4}{5} \Rightarrow z = \frac{8}{5} + \frac{4}{5}i.\)
Câu 144: Tìm môđun của số phức z thỏa mãn: \(\left( {3 - 2i} \right)\bar z - 4\left( {1 - i} \right) = \left( {2 + i} \right)z.\) A. \(\left| z \right| = \sqrt 3 \) B. \(\left| z \right| = \sqrt 5 \) C. \(\left| z \right| = \sqrt {10} \) D. \(\left| z \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + iy\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \bar z = x - iy\) Vậy phương trình trở thành: \(\left( {3 - 2i} \right).\left( {x - iy} \right) - 4\left( {1 - i} \right) = \left( {2 + i} \right).\left( {x + iy} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {3x - 2ix - 3iy + 2{i^2}y} \right) - 4 + 4i = 2x + 2iy + ix + {i^2}y\) \( \Leftrightarrow 3x - 2x + 2{i^2}y - 4 - {i^2}y + \left( { - 2ix - 3iy + 4i - 2iy - ix} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - y - 4} \right) + i\left( { - 3x - 5y + 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y - 4 = 0\\ - 3x - 5y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow z = 3 - i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} .\)
Câu 145: Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức sao cho \(\frac{1}{{z - i}}\) là số thuần ảo. A. Trục tung, bỏ điểm \(\left( {0;1} \right)\) B. Trục hoành, bỏ điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) C. Đường thẳng \(y = 1\), bỏ điểm \(\left( {0;1} \right)\) D. Đường thẳng \(x = - 1\), bỏ điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Vì bài toán liên quan đến biểu diễn số phức nên ta sẽ đặt \(z = x + iy\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) Khi đó \(\frac{1}{{z - i}} = \frac{1}{{x + i\left( {y - 1} \right)}} = \frac{{x - i\left( {y - 1} \right)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\) \( = \frac{x}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} - \frac{{y - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}i\) Khi đó để \(\frac{1}{{z - i}}\) là số thuần ảo thì: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} = 0\\\frac{{y - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y \ne 1\end{array} \right.\) Vậy A là phương án đúng.
Câu 146: Căn bậc 2 của \(3 + 4i\) có phần thực dương là? A. \(3 + 5i\) B. \(3 + 2i\) C. \(2 + i\) D. \(2 + 3i\) Spoiler: Xem đáp án Gọi số phức \(z = a + bi\) là căn bậc hai của số phức cần tìm. Số phức z có phần thực dương thì \(a > 0\) Ta có: \(3 + 4i = 4 + 4i - 1 = {\left( i \right)^2} + 4i + 4 = {\left( {2 + i} \right)^2}.\)
Câu 147: Gọi A là điểm biểu diễn của số phức \(z = 3 + 2i\) và điểm B là điểm biểu diễn số phức \(z' = 2 + 3i.\)Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O. B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung. C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục hoành D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(A\left( {3;2} \right)\) và \(B\left( {2;3} \right)\), ta có tọa độ hai điểm trên hình như sau: Dựa vào đồ thị ta thấy A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y=x.
Câu 148: Cho \(z = x + iy;z' = x' + iy',\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. \(z \pm z' = \left( {x \pm x'} \right) + i\left( {y \pm y'} \right)\) B. \(z.z' = x{\rm{x}}' - yy' + i\left( {xy' + x'y} \right)\) C. \(\frac{z}{{z'}} = \frac{{xx' + yy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}} + i.\frac{{x'y - xy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}}\) D. \(z + \bar z' = x + x' + i\left( { - y + y'} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Với A: \(z \pm z' = \left( {x + iy} \right) \pm \left( {x' + iy'} \right) = \left( {x \pm x'} \right) + \left( {y \pm y'} \right)i\) đây là mệnh đề đúng Với B: \(z.z' = \left( {x + yi} \right).\left( {x' + iy'} \right)\)\( = xx' + ixy' + ix'y + {i^2}yy'\) \( = xx' - yy' + i\left( {xy' + x'y} \right)\) đây là mệnh đề đúng. Với C ta có: \(\frac{z}{{z'}} = \frac{{x + iy}}{{x' + iy'}} = \frac{{\left( {x + iy} \right)\left( {x' - iy'} \right)}}{{\left( {x' + iy'} \right)\left( {x' - iy'} \right)}}\) \( = \frac{{xx' - ixy' + iyx' - {i^2}yy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}} = \frac{{xx' + yy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}} + i.\frac{{x'y - xy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}}\)đây là mệnh đề đúng Với D: \(z + \bar z' = x + x' + i\left( {y - y'} \right)\) Vậy ta chọn D.
Câu 149: Cho số phức \(z = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{100}}}}{{{{\left( {1 + i} \right)}^{96}} - i{{\left( {1 + i} \right)}^{98}}}}\). Khi đó: A. \(\left| z \right| = \frac{4}{3}\) B. \(\left| z \right| = \frac{1}{2}\) C. \(\left| z \right| = \frac{3}{4}\) D. \(\left| z \right| = 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{96}}.{{\left( {1 + i} \right)}^4}}}{{{{\left( {1 + i} \right)}^{96}}\left[ {1 - i{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]}} = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^4}}}{{1 - i{{\left( {1 + i} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {1 + 2i + {i^2}} \right)}^2}}}{{1 - i\left( {1 + 2i + {i^2}} \right)}}\) \( = \frac{{4{i^2}}}{{1 - 2{i^2}}} = - \frac{4}{3} \Rightarrow \left| z \right| = \frac{4}{3}\)
Câu 150: Xác định tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z sao cho \({z^2}\) là số thực âm. A. \(\left\{ {\left( {0;y} \right),y \in \mathbb{R}} \right\}\) B. \(\left\{ {\left( {x;0} \right),x \in \mathbb{R}} \right\}\) C. \(\left\{ {\left( {0;y} \right),y \ne 0} \right\}\) D. \(\left\{ {\left( {x;0} \right),x < 0} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi;x,y \in \mathbb{R} \Rightarrow {z^2} = {\left( {x + yi} \right)^2} = {x^2} - {y^2} + 2xy.i\) Giả thiết \({z^2}\) là số thực âm, suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{xy = 0}\\{{x^2} - {y^2} < 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y \ne 0}\end{array} \Rightarrow } \right.} \right.\) tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z là \(\left\{ {\left( {0;y} \right),y \ne 0} \right\}.\)
