Câu 151: Gọi \({z_1}{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \(\left( {1 + i} \right){z^2} = - 7 + i\). Giá trị biểu thức \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\) A. \(T = 2\sqrt 5 \) B. T=6 C. T=10 D. \(T = 2\sqrt 3 \) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi;a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow \left( {1 + i} \right){\left( {a + bi} \right)^2} = - 7 + i \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} = \frac{{ - 7 + i}}{{1 + i}}\) \( \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} + 2ab.i = - 3 + 4i\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} - {b^2} = - 3}\\{2ab = 4}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1}\\{b = - 2}\end{array}} \right.}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_1} = 1 + 2i}\\{{z_2} = - 1 - 2i}\end{array}} \right. \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|} \right. = \sqrt 5 \Rightarrow T = 2\sqrt 5 } \right.\)
Câu 152: Xác định tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z sao cho \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2}.\) A. \(\left\{ {\left( {x;0} \right),x \in \mathbb{R}} \right\} \cup \left\{ {\left( {0;y} \right),y \in \mathbb{R}} \right\}\) B. \(\left\{ {\left( {x;y} \right),x + y = 0} \right\}\) C. \(\left\{ {\left( {0;y} \right),y \in \mathbb{R}} \right\}\) D. \(\left\{ {\left( {x;0} \right),x \in \mathbb{R}} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi;x,y \in \mathbb{R} \Rightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = {\left( {x - yi} \right)^2} \Leftrightarrow xy.i = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\) Suy ra tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z là \(\left\{ {\left( {x;0} \right),x \in \mathbb{R}} \right\} \cup \left\{ {\left( {0;y} \right),y \in \mathbb{R}} \right\}.\)
Câu 153: Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa đọ Oxy để \(\left| {2z - \overline z } \right| \le 3\) số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H). A. \(3\pi \) B. \(\frac{3}{2}\pi \) C. \(\frac{3}{4}\pi \) D. \(6\pi \) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi\left( {x \ge 0} \right);a,b \in R \Rightarrow \left| {2z - \overline z } \right| \le 3 \Leftrightarrow \left| {x + 3yi} \right| \le 3 \Leftrightarrow {x^2} + 9{y^2} \le 9\) \( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} \le 1\). Do hình (H) là nửa hình Elip có \(a = 3,b = 1\). Khi đó \(S = \frac{1}{2}{S_{elip}} = \frac{1}{2}.\left( {\pi ab} \right) = \frac{3}{2}\pi \)
Câu 154: Biết số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\) có mô đun nhỏ nhất. Tính \(M = {a^2} + {b^2}.\) A. M=10 B. M=16 C. M=26 D. M=8 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\\ \Rightarrow \left| {a - 2 + \left( {b - 4} \right)i} \right| = \left| {a + \left( {b - 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow a + b = 4\end{array}\) Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {4 - a} \right)}^2}} = \sqrt {2{a^2} - 8a + 16} = \sqrt {2{{\left( {a - 2} \right)}^2} + 8} \ge 2\sqrt 2 \) Suy ra: \(Min\left( {\left| z \right|} \right) = Min\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right) = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow M = 8\)
Câu 155: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn hệ thức \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2}\)? A. 0 B. Vô số C. 1 D. 2 Spoiler: Xem đáp án \(z = a + bi;a,b \in \mathbb{R}\) \( \Rightarrow {z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} = {\left( {a - bi} \right)^2} \Leftrightarrow 2abi = - 2abi \Leftrightarrow ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\) Suy ra có vô số số phức z thỏa mãn đề bài.
Câu 156: Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 2z + 2 = 0\). Tính \(M = z_1^{200} + z_2^{200}.\) A. \(M = {2^{101}}\) B. \(M = - {2^{101}}\) C. \(M = {2^{101}}i\) D. \(M = 0\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{z^2} - 2z + 2 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + i\\{z_2} = 1 - i\end{array} \right.\\ \Rightarrow M = z_1^{200} + z_2^{200} = {\left( {1 + i} \right)^{200}} + {\left( {1 - i} \right)^{200}} = {\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^{100}} + {\left[ {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right]^{100}}\end{array}\) \( = {\left( {2i} \right)^{100}} + {\left( { - 2i} \right)^{100}} = {2^{100}}{\left( {{i^2}} \right)^{50}} + {\left( { - 2} \right)^{100}}.{\left( {{i^2}} \right)^{50}} = {2.2^{100}}.{\left( { - 1} \right)^{50}} = {2^{101}}.\)
Câu 157: Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 2i,{z_2} = x - 1 + yi\) với \(x,y \in R\). Tìm cặp (x, y) để \({z_2} = 2\overline {{z_1}} .\) A. \(\left( {x,y} \right) = \left( {3;4} \right)\) B. \(\left( {x,y} \right) = \left( {2; - 2} \right)\) C. \(\left( {x,y} \right) = \left( {3; - 4} \right)\) D. \(\left( {x,y} \right) = \left( { - 2;2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({z_2} = 2\overline {{z_1}} \Leftrightarrow x - 1 + yi = 2 + 4i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\y = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x,y} \right) = \left( {3;4} \right)\)
Câu 158: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z biết \(\overline z = {\left( {\sqrt 2 - i} \right)^2}\left( {1 + \sqrt 2 i} \right)\) A. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng \(\sqrt 2 i\). B. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng \( - \sqrt 2 i\). C. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng \(\sqrt 2 \). D. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng \( - \sqrt 2 \). Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overline z = {\left( {\sqrt 2 - i} \right)^2}\left( {1 + \sqrt 2 i} \right) = 5 - \sqrt 2 i\). Vậy: phần thực của z bằng 5 và phần ảo bằng \( - \sqrt 2 \).
Câu 159: Cho hai số thực b và c \(\left( {c > 0} \right).\) Ký hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm của phương trình \({z^2} + 2b{\rm{z}} + c = 0.\) Tìm điều kiện của b và c sao cho OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ). A. \({b^2} = 2c.\) B. \(c = 2{b^2}.\) C. \(b = c.\) D. \({b^2} = c.\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử \({z_1} = {x_1} + i{y_1};\,\,{z_2} = {x_2} + i{y_2} \Rightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0.\) Ta có: \({z^2} + 2b{\rm{z}} + c = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + b} \right)^2} = {b^2} - c \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - b + i\sqrt {c - {b^2}} \\z = - b - i\sqrt {c - {b^2}} \end{array} \right.\left( {c > {b^2}} \right)\) Suy ra tọa độ: \(A( - b;\sqrt {c - {b^2}} );\,\,B( - b; - \sqrt {c - {b^2}} )\) Tam giác OAB vuông tại O nên: \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\) Suy ra: \({b^2} + {b^2} - c = 0 \Leftrightarrow c = 2{b^2}.\)
Câu 160: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 3 + 5i} \right| = 4\) là một đường tròn. Tính chu vi C của đường tròn đó. A. \(C = 4\pi .\) B. \(C = 2\pi .\) C. \(C = 8\pi .\) D. \(C = 16\pi .\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) Ta có: \(\left| {z - 3 + 5i} \right| = 4 \Rightarrow \left| {x + yi - 3 + 5i} \right| = 4\) \( \Rightarrow \left| {(x - 3) + (y + 5)i} \right| = 4 \Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {(y + 5)^2} = {4^2}\) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm \(I\left( {3; - 5} \right)\) và bán kính \(R = 4.\) Khi đó: \(C = 2\pi R = 8\pi .\)
