Câu 161: Cho hai số phức \(z = 2 + 3i,\,\,{z'} = 3 - 2i.\) Tìm mô đun số phức \({\rm{w}} = z.{z'}.\) A. \(\left| {\rm{w}} \right| = 14.\) B. \(\left| {\rm{w}} \right| = 12.\) C. \(\left| {\rm{w}} \right| = 13.\) D. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {13} .\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\rm{w}} = \left( {2 + 3i} \right)\left( {3 - 2i} \right) = 12 + 5i \Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}} = 13.\)
Câu 162: Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a, \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(3{\rm{z}} + 5\overline {\rm{z}} = 5 - 5i.\) Tính giá trị \(P = \frac{a}{b}.\) A. \(P = \frac{1}{4}.\) B. \(P = 4.\) C. \(P = \frac{{25}}{{16}}.\) D. \(P = \frac{{16}}{{25}}.\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}3{\rm{z}} + 5\overline {\rm{z}} = 5 - 5i \Rightarrow 3\left( {a + bi} \right) + 5\left( {a - bi} \right) = 5 - 5i \Leftrightarrow 8{\rm{a}} - 2bi = 5 - 5i\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}8{\rm{a}} = 5\\2b = 5\end{array} \right. \Rightarrow P = \frac{a}{b} = \frac{1}{4}.\end{array}\)
Câu 163: Cho số phức z thỏa mãn \(\left( {1 + i} \right)z = 5 - i.\) Tìm phần thực của số phức z. A. 3 B. 3I C. 2 D. \(\frac{5}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left( {1 + i} \right)z = 5 - i \Rightarrow z = \frac{{5 - i}}{{1 + i}} = 2 - 3i.\)
Câu 164: Cho số phức \(z = 2i.\) Hỏi điểm biểu diễn cho số phức z là điểm nào trong các điểm M, N, P, Q như hình bên? A. M B. N C. P D. Q Spoiler: Xem đáp án Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là điểm M(0;2).
Câu 165: Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z biết \(\left| z \right| = \left| {\bar z - 3 + 4i} \right|\)là: A. Elip \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\) B. Parabol \({y^2} = 4{\rm{x}}\) C. Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 4 = 0\) D. Đường thẳng \(6{\rm{x}} + 8y - 25 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn của z. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \\\bar z - 3 + 4i = x - iy - 3 + 4i = \left( {x - 3} \right)\left( { - y + 4} \right)i\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left| {\bar z - 3 + 4i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( { - y + 4} \right)}^2}} \) Vậy \(\left| z \right| = \left| {\bar z - 3 + 4i} \right| \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( { - y + 4} \right)^2} \Leftrightarrow 6x + 8y - 25 = 0.\)
Câu 166: Tìm số phức z biết \(z.\bar z = 29,{z^2} = - 21 - 20i\), phần ảo z là một số thực âm. A. \(z = - 2 - 5i\) B. \(z = 2 - 5i\) C. \(z = 5 - 2i\) D. \(z = - 5 - 2i\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + ib\left( {a,b \in \mathbb{R},b < 0} \right)\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\bar z = a - bi \Rightarrow z.\bar z = {a^2} + {b^2} = 29\left( 1 \right)\\{z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi = - 21 - 20i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = - 21\,\left( 2 \right)\\2ab = - 20\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\) (1) trừ (2), ta có \(2{b^2} = 50\) mà \(b < 0\) nên \(b = - 5\) Thay \(b = - 5\) vào (3) ta được \(a = 2\) Vậy \(z = 2 - 5i.\)
Câu 167: Tìm tập hợp các nghiệm của phương trình \(z = \frac{z}{{z + i}}.\) A. \(\left\{ {0;1 - i} \right\}\) B. \(\left\{ 0 \right\}\) C. \(\left\{ {1 - i} \right\}\) D. \(\left\{ {0;1} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án \(z = \frac{z}{{z + i}} \Leftrightarrow z\left( {1 - \frac{1}{{z + i}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\1 = \frac{1}{{z + i}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\z = 1 - i\end{array} \right.\)
Câu 168: Trong mặt phẳng phức \(A\left( { - 4;1} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( { - 6;0} \right)\) lần lượt biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) . Trọng tâm G của tam giác ABC biểu diễn số phức nào sau đây? A. \(z=3 + \frac{4}{3}i\) B. \( z=- 3 + \frac{4}{3}i\) C. \(z=3 - \frac{4}{3}i\) D. \(z= - 3 - \frac{4}{3}i\) Spoiler: Xem đáp án Trọng tâm của tam giác ABC là \(G\left( { - 3;\frac{4}{3}} \right)\) Vậy G biểu diễn số phức \(z = - 3 + \frac{4}{3}i.\)
Câu 169: Số nào trong các số phức sau là số thực? A. \(\left( {\sqrt 3 + i} \right) - \left( {\sqrt 3 - i} \right)\) B. \(\left( {2 + i\sqrt 5 } \right) + \left( {1 - 2i\sqrt 5 } \right)\) C. \(\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\left( {1 - i\sqrt 3 } \right)\) D. \(\frac{{\sqrt 2 + i}}{{\sqrt 2 - i}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\left( {1 - i\sqrt 3 } \right) = 1 - {\left( {i\sqrt 3 } \right)^2} = 4\) là số thực
Câu 170: Tính \(\frac{z}{{\bar z}}\) biết \(z = 2i + 3.\) A. \(\frac{{5 + 6i}}{{11}} - 2i\) B. \(\frac{{5 + 12i}}{{13}}\) C. \(\frac{{5 - 12i}}{{13}}\) D. \(\frac{{3 - 4i}}{7}\) Spoiler: Xem đáp án Vì \(z = 2i + 3 = 3 + 2i\) nên \(\bar z = 3 - 2i\) Suy ra: \(\frac{z}{{\bar z}} = \frac{{3 + 2i}}{{3 - 2i}} = \frac{{\left( {3 + 2i} \right)\left( {3 + 2i} \right)}}{{9 + 4}} = \frac{{5 + 12i}}{{13}}.\)
