Câu 171: Cho số phức z có điểm biểu diễn là điểm A trong hình vẽ bên. Tìm phần thực, phần ảo của số phức \(\overline z \). A. Phần thực bằng 3, phẩn ảo bằng -2 B. Phần thực bằng 3, phẩn ảo bằng 2 C. Phần thực bằng 2, phẩn ảo bằng -3i D. Phần thực bằng 3, phẩn ảo bằng 2i Spoiler: Xem đáp án Ta có \(z = 3 + 2i \Rightarrow \overline z = 3 - 2i.\)
Câu 172: Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết \({z_1} = w + 2i\) và \({z_2} = 2w - 3\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + az + b = 0\). Tính \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) A. \(T = 2\sqrt {13} \) B. \(T = \frac{{2\sqrt {97} }}{3}\) C. \(T = \frac{{2\sqrt {85} }}{3}\) D. \(T = 4\sqrt {13} \) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(w = m + ni\) Ta có: \({z_1} + {z_2} = 3w + 2i - 3 = 3m - 3 + \left( {3n + 2} \right)i = - a\) là số thực do đó \(n = \frac{{ - 2}}{3}\) Lại có \({z_1}{z_2} = \left( {m + \frac{{4i}}{3}} \right)\left( {2m - 3 - \frac{4}{3}i} \right) = \left( {2{m^2} - 3m + \frac{{16}}{9}} \right) + \left( {\frac{4}{3}m - 4} \right)i = b\) là số thực do đó \(\frac{4}{3}m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 3\) Do đó \({z_1} = 3 + \frac{{4i}}{3};{z_2} = 3 - \frac{{4i}}{3} \Rightarrow T = \frac{{2\sqrt {97} }}{3}.\)
Câu 173: Cho số phức thỏa mãn \(3z - \left( {4 + 5i} \right)\overline z = - 17 + 11i\). Tính ab. A. \(ab = 3\) B. \(ab = - 6\) C. \(ab = - 3\) D. \(ab = 6\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}3z - \left( {4 + 5i} \right)\overline z = - 17 + 11i \Rightarrow 3\left( {a + bi} \right) - \left( {4 + 5i} \right)\left( {a - bi} \right) = - 17 + 11i\\ \Leftrightarrow \left( { - a - 5b} \right) + \left( { - 5a + 7b} \right)i = - 17 + 11i\end{array}\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a - 5b = - 17}\\{ - 5a + 7b = 11}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow ab = 6\)
Câu 174: Cho số phức \(z = 2 - 3i\). Tính môđun của số phức \(w = z - 1.\) A. \(\left| w \right| = \sqrt {13} \) B. \(\left| w \right| = 4\) C. \(\left| w \right| = \sqrt {10} \) D. \(\left| w \right| = 2\sqrt 5 \) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(w = z - 1 = 1 - 3i \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {10} .\)
Câu 175: Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \({z_1} = 3 + 2i\), \({z_2} = 3 - 2i,{z_3} = - 3 - 2i\). Khẳng định nào sau đây là sai? A. B và C đối xứng nhau qua trục tung. B. Trọng tâm của tam giác ABC là điểm \(G\left( {1;\frac{2}{3}} \right).\) C. A và B đối xứng nhau qua trục hoành. D. A, B, C nằm trên đường tròn tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng \(\sqrt {13} .\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(A\left( {3;2} \right),B\left( {3; - 2} \right),C\left( { - 3; - 2} \right)\), suy ra: B và C đối xứng nhau qua trục tung Trọng tâm của tam giác ABC là điểm \(G\left( {1; - \frac{2}{3}} \right)\) A và B đối xứng nhau qua trục hoành A, B, C nằm trên đường tròn tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng \(\sqrt {13} \)
Câu 176: Gọi \({z_0}\) là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \(2{z^2} - 6z + 5 = 0\). Điểm nào dưới đây biểu diễn số phức \(i{z_0}?\) A. \({M_4}\left( { - \frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\) B. \({M_1}\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\) C. \({M_3}\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\) D. \({M_2}\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(2{z^2} - 6z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i}\\{z = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i}\end{array} \Rightarrow {z_0} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i \Rightarrow i{z_0} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)} \right.\)
Câu 177: Cho hai số phức \({z_1},{z_2}.\) Chọn mệnh đề đúng. A. Nếu \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\) thì \({z_1} = \overline {{z_2}} .\) B. ếu \({z_1} = \overline {{z_2}} \) thì \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|.\) N C. Nếu \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\) thì \({z_1} = {z_2}.\) D. Nếu \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\) thì các điểm biểu diễn cho \({z_1}\) và \({z_2}\) tương ứng trên mặt phẳng tọa độ sẽ đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({z_1} = \overline {{z_2}} = a + bi \Rightarrow {z_2} = a - bi \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)
Câu 178: Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 3{\rm{z}} + 3 = 0.\) Tính \(\frac{1}{{{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}}}.\) A. \(\frac{2}{3}.\) B. \(\frac{1}{3}.\) C. \(\frac{4}{9}.\) D. \(\frac{2}{9}.\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{z^2} - 3{\rm{z}} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\\z = \frac{3}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\\{z_2} = \frac{3}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 3 \Rightarrow \frac{1}{{{{\left| {{z_1}} \right|}^2}}} + \frac{1}{{{{\left| {{z_2}} \right|}^2}}} = \frac{2}{3}.\end{array}\)
Câu 179: Cho số phức \(z \ne 0\) sao cho z không phải là số thực và \({\rm{w}} = \frac{z}{{1 + {z^2}}}\) là số thực. Tính \(\frac{{\left| z \right|}}{{1 + {{\left| z \right|}^2}}}.\) A. \(\frac{1}{5}.\) B. \(\frac{1}{2}.\) C. \(2.\) D. \(\frac{1}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi\left( {b \ne 0} \right) \Rightarrow {z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi \Rightarrow \frac{z}{{1 + {z^2}}} = \frac{{a + bi}}{{1 + {a^2} - {b^2} + 2abi}}\) Ta có: \(\begin{array}{l}\frac{{a + bi}}{{1 + {a^2} - {b^2} + 2abi}} = \frac{{\left( {a + bi} \right)\left( {1 + {a^2} - {b^2} - 2abi} \right)}}{{{{\left( {1 + {a^2} - {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2}}}\\ = \frac{{a + {a^3} - a{b^2} - 2{a^2}bi + bi + {a^2}bi - {b^3}i + 2a{b^2}i}}{{{{\left( {1 + {a^2} - {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2}}}\\ = \frac{{(a + {a^3} + a{b^2}) + ( - {a^2}b + b - {b^3})i}}{{{{\left( {1 + {a^2} - {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2}}} \in \mathbb{R}\end{array}\) Hay: \(b - {b^3} - {a^2}b = 0 \Leftrightarrow b(1 - {b^2} - {a^2}) = 0 \Leftrightarrow 1 - {b^2} - {a^2} = 0\) (Do \(b \ne 0\) ) Vậy \({a^2} + {b^2} = 1.\) Vậy: \(\frac{{\left| z \right|}}{{1 + {{\left| z \right|}^2}}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}.\)
Câu 180: Gọi (H) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức \(z = a + bi\,\,\)\(\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} \le 1 \le a - b.\) Tính diện tích hình (H). A. \(\frac{{3\pi }}{4} + \frac{1}{2}.\) B. \(\frac{\pi }{4}.\) C. \(\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}.\) D. \(1.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left( H \right):\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} \le 1\\x - y \ge 1 \Leftrightarrow y \le x - 1\end{array} \right.\) Vậy hình (H) là phần nằm trong đường tròn \({x^2} + {y^2} = 1\) và nằm phía dưới đường thẳng \(y = x - 1.\) Khi đó \(S = \frac{1}{4}\pi {R^2} - {S_{OAB}} = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}.\)
