Câu 11: Cho số phức z thoả mãn (1 – i)z = 5 – i. Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm A, B, C, D ở hình sau? A. Điểm A B. Điểm B C. Điểm C D. Điểm D. Spoiler: Xem đáp án Tìm số phức z từ giả thiết (1 – i)z = 5 – i. Dùng máy tính hoặc tính toán, rút gọn \(z = \frac{{5 - i}}{{1 - i}}\) ta được z = 3 + 2i Kết hợp với hình vẽ suy ra số phức z = 3 + 2i được biểu diễn bởi điểm B(3; 2).
Câu 12: Cho 2 số phức \({z_1} = 2 + i;{z_2} = - 2 + i.\) Tính \({z_1} + {z_2}.\) A. 0 B. 2i C. 4 D. 4 + 2i Spoiler: Xem đáp án Với \({z_1} = 2 + i;{z_2} = - 2 + i\) ta có: \({z_1} + {z_2} = (2 + i) + ( - 2 + i) = 2i.\)
Câu 13: Mô đun của số phức \(z = {i^{2016}} - 3{i^{2017}}\) là: A. \(2\sqrt 5 \) B. 2 C. 3 D. \(\sqrt {10} \) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(z = {i^{2016}} - 3{i^{2017}} = {({i^4})^{504}} - 3.i.{({i^4})^{504}} = 1 - 3i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {10} \)
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \({x^2} + mx + 2i = 0\) có tổng bình phương các nghiệm bằng 3. A. m = 2+i; m = -2 – i B. m = 2+i; C. m = 2-i; m = -2 – i D. m = 2-i; Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình \({x^2} + mx + 2i = 0\)(1) Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (1) Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - m\\{x_1}.{x_2} = 2i\end{array} \right.\) Khi đó \(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 = 3 \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}.{x_2} = 3\\ \Leftrightarrow {( - m)^2} = 2.2i = 3\\ \Leftrightarrow {m^2} = 3 + 4i\\ \Leftrightarrow {m^2} = {(2 + i)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 + i\\m = - 2 - i\end{array} \right.\end{array}\) Vậy m=2+i và m = -2 – i là các giá trị cần tìm.
Câu 15: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện: \(|z + 3| = |2i - z|.\) A. Đường thẳng \(y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{4}.\) B. Đường thẳng \(y = \frac{{ - 3}}{2}x - \frac{5}{4}.\) C. Đường thẳng \(y = \frac{{ - 3}}{2}x + \frac{5}{4}.\) D. Đường thẳng \(y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{4}.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi\,\,(x,y \in \mathbb{R}).\) \(\begin{array}{l}|z + 3| = |2i - z|\\ \Leftrightarrow |x + yi + 3| = |2i - x - yi|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(x + 3)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{{( - x)}^2} + {{(2 - y)}^2}} \\ \Leftrightarrow y = \frac{{ - 3}}{2}x - \frac{5}{4}.\end{array}\) Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn để bài là đường thẳng \(y = \frac{{ - 3}}{2}x - \frac{5}{4}.\)
Câu 16: Tính \(\frac{{{{(1 - i)}^2}{{(2i)}^5}}}{{3 - i}}.\) A. \(\frac{{96}}{5} + \frac{{32}}{5}i.\) B. \( - \frac{{96}}{5} - \frac{{32}}{5}i.\) C. \(24 - \frac{{32}}{5}i.\) D. \(\frac{{96}}{5} - \frac{{32}}{5}i.\) Spoiler: Xem đáp án Dùng máy tính cầm tay bấm ra kết quả hoặc khai triển, rút gọn ta được kết quả \(\frac{{96}}{5} + \frac{{32}}{5}i.\)
Câu 17: Cho hai số phức \({z_1} = 1 - 3i;{z_2} = 2 - i.\) Xác định phần tực và phần ảo của số phức \({\rm{w}} = \frac{{{z_1}}}{{\overline {{z_1}} - \overline {{z_2}} }}.\) A. Phần thực bằng \(\frac{1}{5}\) và phần ảo bằng \( - \frac{7}{5}.\) B. Phần thực bằng \( - \frac{7}{5}\)và phần ảo bằng \(\frac{1}{5}i.\) C. Phần thực bằng \( - \frac{7}{5}\)và phần ảo bằng \(\frac{1}{5}\). D. Phần thực bằng \(\frac{7}{5}\)và phần ảo bằng \( - \frac{1}{5}.\) Spoiler: Xem đáp án Với \(\begin{array}{l}{z_1} = 1 - 3i \Rightarrow \overline {{z_1}} = 1 + 3i.\\{z_2} = 2 - i \Rightarrow \overline {{z_2}} = 2 + i.\end{array}\) Ta có \({\rm{w}} = \frac{{{z_1}}}{{\overline {{z_1}} - \overline {{z_2}} }} = \frac{{1 - 3i}}{{(1 + 3i) - (2 + i)}}\) Tính toán, rút gọn hoặc dùng máy tính ta được \({\rm{w}} = - \frac{7}{5} + \frac{1}{5}i.\) Vậy số phức w có phần thực bằng \( - \frac{7}{5}\)và phần ảo bằng \(\frac{1}{5}\).
Câu 18: Tìm nghịch đảo của số phức \(z = 1 + 3i.\) A. \(\frac{1}{{10}} - 3i\) B. \(1 + \frac{1}{3}i.\) C. \(\frac{1}{{10}} - \frac{3}{{10}}i.\) D. \( - \frac{1}{8} + \frac{3}{8}i.\) Spoiler: Xem đáp án Nghịch đảo của số phức z=1+3i là: \(\frac{1}{z} = \frac{1}{{1 + 3i}} = \frac{{1 - 3i}}{{(1 + 3i)(1 - 3i)}} = \frac{1}{{10}} - \frac{3}{{10}}i.\)
Câu 19: Tìm các số thực x và y thoả mãn: \(x - 2y + 4\pi i = \pi (x + 2y)i.\) A. \(x \in \mathbb{R};y = \frac{x}{2}\) B. \(x \in \mathbb{R};y = \frac{{4 - x}}{2}.\) C. \(x = 2;y = 1.\) D. \(x \in \mathbb{R};y = 0.\) Spoiler: Xem đáp án \(x - 2y + 4\pi i = \pi (x + 2y)i\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\4\pi = \pi (x + 2y)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\x + 2y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)
Câu 20: Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn \(\left| z \right| = 2,z + \overline z + \left| z \right| = 0.\) A. \(z = 1 \pm \sqrt 3 i\) B. \(z = - \sqrt 2 \pm \sqrt 2 i\) C. \(z = - 1 \pm \sqrt 3 i\) D. \(z = \sqrt 2 \pm \sqrt 2 i\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi;a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 2}\\{a + bi + a - bi + \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} = 4}\\{2a + 2 = 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1}\\{b = \pm \sqrt 3 }\end{array}} \right. \Rightarrow z = - 1 \pm \sqrt 3 i.\)
