Câu 201: Cho số phức \(z\) có phần thực dương và thỏa \(\bar z - \frac{{\left( {5 + \sqrt 3 i} \right)}}{z} - 1 = 0\). Tính môđun của z. A. \(\left| z \right| = 2\). B. \(\left| z \right| = 3\). C. \(\left| z \right| = 4\). D. \(\left| z \right| = \sqrt 7 \). Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\bar z - \frac{{\left( {5 + \sqrt 3 i} \right)}}{z} - 1 = 0 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} - \left( {5 + \sqrt 3 i} \right) = z\). Đặt \(z = a + bi,\,\,a,b \in \mathbb{R},\,\,a > 0\). Ta có. \({a^2} + {b^2} - 5 - \sqrt 3 i = a + bi \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - 5 = a\\ - \sqrt 3 = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - a - 2 = 0\\b = - \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = - 1\\a = 2\end{array} \right.\\b = - \sqrt 3 \end{array} \right.\). Vậy: \(z = 2 - \sqrt 3 i \Rightarrow \left| z \right| = 7.\)
Câu 202: Trong mặt phẳng phức, gọi \(A,B,C\) lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \({z_1} = - 1 + 3i, {z_2} = 1 + 5i, {z_3} = 4 + i\). Tứ giác \(ABCD\) là một hình bình hành thì \(D\) là điểm biểu diễn số phức nào? A. \(2 + i.\) B. \(5 + 6i.\) C. \(2 - i.\) D. \\(3 + 4i.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(z\) là là số phức có điểm biểu diễn là \(D\). Khi đó giác \(ABCD\) là một hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \). Suy ra: \({z_2} - {z_1} = {z_3} - z \Leftrightarrow z = {z_1} + {z_3} - {z_2} \Leftrightarrow z = 2 - i\).
Câu 203: Tìm số phức z có \(\left| z \right| = 1\) và \(\left| {z + i} \right|\) đạt giá trị lớn nhất. A. 1 B. -1 C. i D. -i Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi\) thì: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\left| {z + i} \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2}} \) Khi đó ta có: \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1 \Rightarrow b \le 1\) \(\left| {z + i} \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2b + 1} = \sqrt {2b + 2} \le \sqrt {2.1 + 2} \le 2\) Do đó, giá trị lớn nhất đạt được bằng 2 khi: \(a = 0;b = 1\) và \(z = i.\)
Câu 204: Tìm phần thực của số phức z biết: \(z + \frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = 10\) A. 10 B. 5 C. -5 D. \(\sqrt {10} \) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z + \frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = z + \bar z\) Đặt \(z = a + bi \Rightarrow z + \frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = z + \bar z = 2a = 10 \Rightarrow a = 5.\)
Câu 205: Tìm số phức \(\bar z\) thỏa mãn \(\frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}\) A. \(\frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i\) B. \(\frac{{22}}{{25}} - \frac{4}{{25}}i\) C. \(\frac{{22}}{{25}}i + \frac{4}{{25}}\) D. \( - \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}} \Rightarrow z = \frac{{\left( { - 1 + 3i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{{{\left( {2 + i} \right)}^2}}}\) \( = \frac{{\left( { - 1 + 3i} \right)\left( {1 - i} \right){{\left( {2 - i} \right)}^2}}}{{25}} = \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i\)
Câu 206: Cho số phức z, w khác 0 sao cho \(\left| {z - w} \right| = 2\left| z \right| = \left| w \right|\). Phần thực của số phức \(u = \frac{z}{w}\) là: A. \(a = - \frac{1}{8}\) B. \(a = \frac{1}{4}\) C. \(a = 1\) D. \(a = \frac{1}{8}\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(u = a + bi\) với \(a,b \in \mathbb{R}.\) Từ giả thiết đầu bài \(\left| {z - w} \right| = 2\left| z \right| = \left| w \right|.\) Ta có hệ sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| u \right| = \frac{{\left| z \right|}}{{\left| w \right|}} = \frac{1}{2}}\\{\frac{{\left| {z - w} \right|}}{{\left| w \right|}} = \left| {u - 1} \right|}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} = \frac{1}{4}}\\{{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {b^2} = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} - {a^2} = 2a + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow a = - \frac{1}{8}.\)
Câu 207: Cho số phức z thay đổi, luôn có \(\left| z \right| = 2\). Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w = \left( {1 - 2i} \right)\overline z + 3i\) là: A. Đường tròn \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 2\sqrt 5 \) B. Đường tròn \({x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 20\) C. Đường tròn \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 20\) D. Đường tròn \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 2\sqrt 5 \) Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(w = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow a + bi = \left( {1 - 2i} \right)\overline z + 3i\) \( \Rightarrow \overline z = \frac{{a + \left( {b - 3} \right)i}}{{1 - 2i}} = \frac{{\left[ {a + \left( {b - 3} \right)i} \right]\left( {1 + 2i} \right)}}{5} = \frac{{a - 2\left( {b - 3} \right) + \left( {2a + b - 3} \right)i}}{5}\) \( \Rightarrow \left| {\overline z } \right| = \left| z \right| = \frac{1}{5}\sqrt {{{\left[ {a - 2\left( {b - 3} \right)} \right]}^2} + {{\left( {2a + b - 3} \right)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {a - 2b + 6} \right)^2} + {\left( {2a + b - 3} \right)^2} = 100\) \( \Leftrightarrow {\left( {a - 2b} \right)^2} + {\left( {2a + b} \right)^2} + 12\left( {a - 2b} \right) - 6\left( {2a + b} \right) = 55\) \( \Leftrightarrow 5{a^2} + 5{b^2} - 30b = 55 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 6b = 11 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 20.\)
Câu 208: Biết rằng phương trình \({z^2} + bz + c = 0\left( {b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có một nghiệm phức là \({z_1} = 1 + 2i\). Khi đó: A. \(b + c = 0\) B. \(b + c = 3\) C. \(b + c = 2\) D. \(b + c = 7\) Spoiler: Xem đáp án Do \(1 + 2i\) là nghiệm của PT nên ta có \({\left( {1 + 2i} \right)^2} + b\left( {1 + 2i} \right) + c = 0\) \( \Leftrightarrow - 3 + 4i + b + 2bi + c = 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b + c - 3 = 0}\\{2b + 4 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow b + c = 3.\)
Câu 209: Cho số phức \({z_1} = 1 - 2i,{z_2} = 2 - 3i\). Khẳng định nào sau đây là sai về số phức \(w = {z_1}.\overline {{z_2}} \) ? A. Số phức liên hợp của \(w\) là \(8 + i\) B. Điểm biểu diễn w là \(M\left( {8;1} \right)\) C. Môđun của w là \(\sqrt {65} \) D. Phần thực của w là 8, phần ảo là -1 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overline {{z_2}} = 2 + 3i \Rightarrow w = {z_1}.\overline {{z_2}} = \left( {1 - 2i} \right)\left( {2 + 3i} \right) = 8 - i\) Suy ra điểm biểu diễn của số phức w là N(8;-1). Do đó B sai.
Câu 210: Gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \({z_1},{z_2}\) khác 0. Khi đó khẳng định nào sau đây sai? A. \(\left| {{z_2}} \right| = ON\) B. \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = MN\) C. \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = MN\) D. \(\left| {{z_2}} \right| = OM\) Spoiler: Xem đáp án Ta có A và D là khẳng định đúng. Gọi M(a;b) điểm biểu diễn số phức z=a+bi, N(c;d) là điểm biểu diễn số phức z=c+di. Ta có \(MN = \sqrt {{{\left( {c - a} \right)}^2} + {{(d - b)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a - c} \right)}^2} + {{(b - d)}^2}} = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|.\) Do đó C đúng. Vậy:\(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = MN\) là khẳng định sai.
