Câu 211: Cho z là một số phức tùy ý khác 0. Khẳng định nào sau đây sai? A. \(z - \overline z \) là số ảo B. \(z + \overline z \) là số thực C. \(z.\overline z \) là số thực D. \(\frac{z}{{\overline z }}\) là số ảo Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\) ta có \(\frac{z}{{\overline z }} = \frac{{a + bi}}{{a - bi}} = \frac{{{{\left( {a + bi} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}i\) nên ta chưa thể khẳng định được \(\frac{z}{{\overline z }}\) là số ảo. Dễ dàng kiểm tra được A, B, C là những khẳng định đúng.
Câu 212: Tính tích môđun của tất cả các số phức z thỏa mãn \(\left| {2z - 1} \right| = \left| {\overline z + 1 + i} \right|,\) đồng thời điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ thuộc đường tròn có tâm \(I\left( {1;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 .\) A. 1 B. \(3\sqrt 5 .\) C. \(\sqrt 5 .\) D. 3 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\). Khi đó: \(\left| {2{\rm{z}} - 1} \right| = \left| {\overline z + 1 + i} \right| \Leftrightarrow \left| {2{\rm{x}} - 1 + 2yi} \right| = \left| {x + 1 + \left( {1 - y} \right)i} \right|\) \( \Leftrightarrow {\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)^2} + 4{y^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {1 - y} \right)^2} \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} + 3{y^2} - 6{\rm{x}} + 2y - 1 = 0\,\,\left( 1 \right)\) Mà điểm biểu diễn \({M_z} \in \left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\,\,\,\left( 2 \right)\) Từ (1), (2) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0;y = - 1\\x = 2;y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left| {{z_1}} \right|\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 5 .\)
Câu 213: Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({z^2} - z + 1 = 0.\) Tính giá trị của biểu thức \(S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\) A. 2 B. 4 C. 1 D. \(\sqrt 3 .\) Spoiler: Xem đáp án \({z^2} - z + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \frac{1}{2} + \frac{{i\sqrt 3 }}{2}\\z = \frac{1}{2} - \frac{{i\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2.\)
Câu 214: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bằng điểm \(M\left( {x;y} \right)\) trong mặt phẳng Oxy. B. Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp là \(\overline z = b - ai.\) C. Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó là một số thực. D. Số phức \(z = a + bi\) có mô đun là \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\) Spoiler: Xem đáp án Ta có số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp là \(\overline z = a - bi \Rightarrow B\,\,sai.\)
Câu 215: Tìm số phức z thỏa \(i\left( {\overline z - 2 + 3i} \right) = 1 + 2i.\) A. \(z = 4 - 4i.\) B. \(z = 4 + 4i.\) C. \(z = - 4 + 4i.\) D. \(z = - 4 - 4i.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overline z = \frac{{1 + 2i}}{i} + 2 - 3i = 4 - 4i \Rightarrow z = 4 + 4i.\)
Câu 216: Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \(z = 1 - 3i\) và \({\rm{w}} = - 2 + i\) trên mặt phẳng tọa độ. Tính độ dài của đoạn thẳng AB. A. 5 B. 3 C. \(\sqrt 5 .\) D. \(\sqrt {13} .\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(A\left( {1; - 3} \right),\,\,B\left( { - 2;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {9 + 16} = 5.\)
Câu 217: Cho các mệnh đề sau: (1) Trên tập hợp các số phức thì phương trình bậc hai luôn có nghiệm. (2) Trên tập hợp các số phức thì số thực âm không có căn bậc hai. (3) Môđun của một số phức là một số phức. (4) Môđun của một số phức là một số thực dương. Trong bốn mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 Spoiler: Xem đáp án (1) đúng, (2) sai, ta có thể lấy ví dụ là căn bậc hai của \( - 1\) là \(i\) và \( - i.\) (3) đúng vì mô đun của một số phức là một số phức (số thực cũng là số phức). (4) sai vì mô đun của một số phức là một số thực không âm. (0 cũng là só phức, môđun của 0 bằng 0).
Câu 218: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(2 + \left( {2 + i} \right)z = \left( {3 - 2i} \right)\overline z + i\). Tìm tọa độ của điểm biểu diễn của số phức liên hợp với z. A. \(M\left( {\frac{{ - 11}}{8};\frac{5}{8}} \right)\) B. \(M\left( {\frac{{ - 11}}{8}; - \frac{5}{8}} \right)\) C. \(M\left( {\frac{{11}}{8}; - \frac{5}{8}} \right)\) D. \(M\left( {\frac{{11}}{8};\frac{5}{8}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\) Thay vào ta có: \(2 + \left( {2 + i} \right)\left( {a + bi} \right) = \left( {3 - 2i} \right)\left( {a - bi} \right) + i\) \( \Leftrightarrow \left( {2a - b + 2} \right) + \left( {a + 2b} \right)i = 3a - 2b + \left( { - 2a - 3b + 1} \right)i\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a - b + 2 = 3a - 2b}\\{a + 2b = - 2a - 3b + 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a + b = - 2}\\{3a + 5b = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{11}}{8}}\\{b = \frac{{ - 5}}{8}}\end{array}} \right.} \right.\) \( \Rightarrow \overline z = \frac{{11}}{8} + \frac{5}{8}i \Rightarrow M\left( {\frac{{11}}{8};\frac{5}{8}} \right).\)
Câu 220: Gọi M là điểm biểu diễn số phức \(w = \frac{{z - \overline z + 1}}{{{z^2}}}\), trong đó z là số phức thỏa mãn \( \left( {1 - i} \right)\left( {z + 2i} \right) = 2 - i + 3z. \). Gọi N là điểm trong mặt phẳng sau cho \(\left( {\overrightarrow {Ox} ;\overrightarrow {ON} } \right) = 2\varphi \), trong đó \(\varphi = \left( {\overrightarrow {Ox} ,\overrightarrow {OM} } \right)\) là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia \(\overrightarrow {OM} \). Điểm N nằm trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư (IV) B. Góc phần tư (I) C. Góc phần tư (II) D. Góc phần tư (III) Spoiler: Xem đáp án \(\left( {1 - i} \right)\left( {z + 2i} \right) = 2 - i + 3z \Leftrightarrow - \left( {1 - i} \right)z + 3z = \left( {1 - i} \right).2i - 2 + i \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z = 3i\) \( \Leftrightarrow z = \frac{{3i}}{{2 + i}} = \frac{{3 + 6i}}{5}\) \( \Rightarrow w = \frac{{z - \overline z + 1}}{{{z^2}}} = \frac{{\frac{{3 + 6i}}{5} - \frac{{3 - 6i}}{5} + 1}}{{{{\left( {\frac{{3 + 6i}}{5}} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {5 + 12i} \right).5}}{{ - 27 + 36i}} = \frac{{22 - 56i}}{{45}} = \frac{{13}}{9}\left( {\frac{{33}}{{65}} - \frac{{56}}{{65}}i} \right)\) Đặt \(\cos \varphi = \frac{{33}}{{65}};\sin \varphi = - \frac{{56}}{{65}}\) với \(\varphi \) là góc tọa bởi \(\overrightarrow {Ox} ,\overrightarrow {OM} \) \( \Rightarrow \cos 2\varphi = 2{\cos ^2}\varphi - 1 = - \frac{{2047}}{{4225}} < 0\); \(\sin 2\varphi = 2\sin \varphi \cos \varphi = 2.\frac{{33}}{{65}}\left( { - \frac{{56}}{{65}}} \right) = - \frac{{3696}}{{4225}} < 0\) Suy ra N thuộc góc phần tư thứ ba.
Câu 221: Cho số phức \(z = 5 - 4i\). Số phức đối của z có điểm biểu diễn là: A. \(\left( { - 5;4} \right)\) B. \(\left( { - 5; - 4} \right)\) C. \(\left( {5; - 4} \right)\) D. \(\left( {5;4} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(z = 5 - 4i \Rightarrow - z = - 5 + 4i\) \( \Rightarrow \) số đối của z có điểm biểu diễn là \(\left( { - 5;4} \right).\)
