Câu 222: Cho số phức z thỏa mãn \(\left( {1 + i} \right)z + 2 - 3i = \left( {2 - i} \right)\left( {3 - 2i} \right).\) Tính môđun của z. A. \(\sqrt {10} \) B. \(\sqrt {11} \) C. 3 D. \(2\sqrt 3 \) Spoiler: Xem đáp án \(\left( {1 + i} \right)z + 2 - 3i = \left( {2 - i} \right)\left( {3 - 2i} \right) \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {2 - i} \right)\left( {3 - 2i} \right) - 2 + 3i}}{{1 + i}}\) =\(\frac{{2 - 4i}}{{1 + i}} = \frac{{\left( {2 - 4i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{{1^2} + {1^2}}} = \frac{{ - 2 - 6i}}{2} = - 1 - 3i\) \( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} .\)
Câu 223: Gọi \({z_1},{z_2}\) là nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Tính giá trị của biểu thức \({\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}.\) A. 20 B. 25 C. 18 D. 21 Spoiler: Xem đáp án \({z^2} + 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{z = - 1 + 3i}\\{z = - 1 - 3i}\end{array}} \right. \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 2\left( {1 + {3^2}} \right) = 20\)
Câu 224: Cho phức số z thoả mãn \(2i + z(1 - i) = i(3 - i).\) Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức z? A. \({M_3}(1;0).\) B. \({M_1}(0;1).\) C. \({M_4}(0;2).\) D. \({M_2}(0; - 1).\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(2i + z(1 - i) = i(3 - i) \Leftrightarrow z = \frac{{i(3 - i) - 2i}}{{1 - i}} = i.\) Vậy điểm biểu diễn số phức z là M(0;1)
Câu 225: Cho \({z_1},{z_2}\) là hai số phức thỏa mãn phương trình \(\left| {2z - i} \right| = \left| {2 + iz} \right|,\) biết \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = \left| {{z_1} + {z_2}} \right|.\) A. \(P = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) B. \(P = \sqrt 2 .\) C. \(P = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\) D. \(P = \sqrt 3 .\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi(x,y \in \mathbb{R}),\) ta có \(2z - i = 2x + 2(y - 1)i\) và \(2 + iz = 2 - y + xi.\) Khi đó: \(\left| {2z - i} \right| = \left| {2 + iz} \right| \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} + {{(2y - 1)}^2}} = \sqrt {{{(y - 2)}^2} + {x^2}} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {z{}_1} \right| = 1\\\left| {z{}_2} \right| = 1\end{array} \right.\) Tập hợp điểm biểu diễn số phức \({z_1},{z_2}\) là đường tròn tâm O, \(R = 1.\) Gọi\({M_1}({z_1}),{M_2}({z_2}) \Rightarrow O{M_1} = O{M_2} = 1.\) Ta có \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {O{M_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right| = 1 \Rightarrow \Delta O{M_1}{M_2}\) đều. Mà \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {O{M_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM\) với M là điểm thỏa mãn \(O{M_1}M{M_2}\) là hình thoi cạnh 1 \( \Rightarrow OM = \sqrt 3 \Rightarrow P = \sqrt 3 .\)
Câu 226: Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - i + 2} \right| = \left| {2 - i} \right|\) là đường nào trong các đường dưới đây? A. Đường tròn. B. Đường thẳng. C. Đường Parabol. D. Đường elip. Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(z = x + yi(x,y \in \mathbb{R}).\) Ta có \(\left| {z - i + 2} \right| = \left| {2 - i} \right| \Leftrightarrow \left| {x + yi - i + 2} \right| = \left| {2 - i} \right|\) \(\Rightarrow {(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 5\) Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm (-2;1) bán kính \(R = \sqrt 5 .\)
Câu 227: Kí hiệu \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 10z + 29 = 0\) (\({z_1}\) có phần ảo âm). Tìm số phức liên hợp của số phức \(\omega = z_1^2 - z_2^2 + 1.\) A. \(\overline \omega = 1 + 40i.\) B. \(\overline \omega = 40 - i.\) C. \(\overline \omega = 1 - 10i.\) D. \(\overline \omega = 1 - 40i.\) Spoiler: Xem đáp án Do \({z_1},{z_2}\) là nghiệm của phương trình nên \({z_1} = 5 - 2i;{z_2} = 5 + 2i\) Khi đó \(\omega = {z_1}^2 - {z_2}^2 + 1 = {(5 - 2i)^2} - {(5 + 2i)^2} + 1 = 1 - 40i \Rightarrow \overline \omega = 1 + 40i.\)
Câu 228: Tìm môđun của số phức \(z = \left( {2 - 3i} \right)i + {\left( {1 + i} \right)^2}.\) A. \(\left| z \right| = 1.\) B. \(\left| z \right| = 3.\) C. \(\left| z \right| = \sqrt 5 .\) D. \(\left| z \right| = 5.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = (2 - 3i)i + {(1 + i)^2} = 3 + 4i \Rightarrow \left| z \right| = 5.\)
Câu 229: Cho các số phức z thỏa mãn \(\left | z \right |=2\) Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(w = 3 - 2i + \left( {2 - i} \right)z\) là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. \(r=20\) B. \(r=\sqrt{20}\) C. \(r=\sqrt{7}\) D. \(r=7\) Spoiler: Xem đáp án Gọi w=a+bi. Ta có \(a + bi = 3 - 2i + (2 - i)z \Rightarrow z = \frac{{a - 3 + (b + 2)i}}{{2 - i}} = \frac{{[a - 3 + (b + 2)i](2 + 1)}}{5}\) \(= \left( {\frac{{2a - b - 8}}{5}} \right) + \left( {\frac{{a + 2b + 1}}{5}} \right)i\) . Mặc khác: \(\left |z \right |=2\) nên \({\left( {\frac{{2a - b - 8}}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a + 2b + 1}}{5}} \right)^2} = {2^2} \Leftrightarrow {(a - 3)^2} + {(b + 2)^2} = 20\) \(\Rightarrow R = \sqrt {20} .\)
Câu 230: Gọi là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 3 = 0.\) Tính \(A = \left| {{z_1}^2} \right| + \left| {{z_2}^2} \right|\) A. A=6 B. A=3 C. A=9 D. A=2 Spoiler: Xem đáp án \({z^2} + 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1 + i\sqrt 2 \\ x = - 1 - i\sqrt 2 \end{array} \right.\) \(A = \left| {{z_1}^2} \right| + \left| {{z_2}^2} \right| = \left| { - 1 - 2\sqrt 2 i} \right| + \left| { - 1 + 2\sqrt 2 i} \right| = 3 + 3 = 6.\)
Câu 231: Cho số phức z biết \(\bar z = 2 - i + \frac{i}{{1 + i}}.\) Tìm phần ảo của số phức \(z^2.\) A. \(\frac{5}{2}i\) B. \(- \frac{5}{2}i\) C. \(\frac{5}{2}\) D. \(- \frac{5}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \(\overline z = 2 - i + \frac{i}{{1 + i}} = \frac{5}{2} - \frac{i}{2} \Rightarrow z = \frac{5}{2} + \frac{i}{2} \Rightarrow {z^2} = 6 + \frac{{5i}}{2}.\) Vậy phần ảo của số phức là \(\frac{5}{2}\)
