Câu 232: Cho số phức \({z_1} = 1 + 3i\) và \({z_1} = 3 -4i\) Tìm môđun số phức \(W=z_1+z_2\) A. \(\left |W \right |=\sqrt{17}\) B. \(\left |W \right |=\sqrt{15}\) C. \(\left |W \right |=4\) D. \(\left |W \right |=8\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: $z_1 + z_2= 1 + 3i + 3 - 4 = 4 - i$. Suy ra mô dun của số phức w=z1+z2 là: \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{4^2} + {1^2}} = \sqrt {17} .\)
Câu 233: Tìm số phức z thỏa mãn \((1 + i)z + (2 - i)\overline z = 13 + 2i.\) A. \(z=3+2i\) B. \(z=3-2i\) C. \(z=-3+2i\) D. \(z=-3-2i\) Spoiler: Xem đáp án Gọi số phức cần tìm là \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\) Khi đó phương trình \(\Leftrightarrow a - b + (a + b)i + 2a - b - (a + 2b)i = 13 + 2i\) \(\Leftrightarrow 3a - 2b - bi = 13 + 2i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 2b = 13\\ - b = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = - 2 \end{array} \right. \Rightarrow z = 3 - 2i\)
Câu 234: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 3 - 4i A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng -4i B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4i D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng -4 Spoiler: Xem đáp án Với 1 số phức z=a+bi thì phần thực là a và phần ảo là b.
Câu 235: Cho \(z\in C\) thỏa mãn \((2 + i)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} + 1 - 2i\). Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(w = (3 - 4i)z - 1 + 2i\) là đường tròn tâm I, bán kính R. Tìm I và R. A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I( - 1; - 2)}\\ {R = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\) B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I(1;2)}\\ {R = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\) C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I( - 1;2)}\\ {R = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\) D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I(1; - 2)}\\ {R = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \((2 + i)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} + 1 - 2i \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| + 2} \right) + \left( {2\left| z \right| - 1} \right)i = \frac{{\sqrt {10} }}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z\) Ta có bình phương môđun của số phức bên trái biểu thức là \({\left( {\left| z \right| + 2} \right)^2} + {\left( {2\left| z \right| - 1} \right)^2}\) Bình phương môđun của số phức bên phải là \(\frac{{10}}{{{{\left| z \right|}^2}}}\)(Do \(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|\)) Khi đó \({\left( {\left| z \right| + 2} \right)^2} + {\left( {2\left| z \right| - 1} \right)^2} = \frac{{10}}{{{{\left| z \right|}^2}}}\). Đặt \(a=\left | z \right |\) ta có: \({(a + 2)^2} + {(2a - 1)^2} = \frac{{10}}{{{a^2}}}\) \(\Leftrightarrow 5{a^2} + 5 = \frac{{10}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1 \Rightarrow \left| {w + 1 - 2i} \right| = \left| {(3 - 4i)} \right|.\left| z \right| = 5\)(*) Đặt \({\rm{w}} = x + yi\,(x,y \in \mathbb{R})\) Từ (*) ta có: \(\left| {x + 1 + (y - 2)i} \right| = 5 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {(y - 2)^2} = {5^2}\) Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(-1;2), bán kính R=5.
Câu 236: Cho \(z_1,z_2\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 4 = 0.\) Tính \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) A. \(2\sqrt{3}\) B. 4 C. \(4\sqrt{3}\) D. 5 Spoiler: Xem đáp án \({z^2} + 2z + 4 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1} = - 1 + \sqrt 3 i}\\ {{z_2} = - 1 - \sqrt 3 i} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {{z_1}} \right| = 2}\\ {\left| {{z_2}} \right| = 2} \end{array}} \right. \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 4.\)
Câu 237: Trên tập số phức C cho phương trình \(a{z^2} + bz + c = 0\,\,(a,b,c \in \mathbb{R},a \ne 0)\). Khẳng định nào sau đây sai? A. Phương trình luôn có nghiệm. B. Tổng hai nghiệm bằng \(-\frac{b}{a}\) C. Tích hai nghiệm bằng \(\frac{c}{a}\) D. \(\Delta = {b^2} - 4ac < 0\) thì phương trình vô nghiệm. Spoiler: Xem đáp án Trên tập số phức phương trình \(a{z^2} + bz + c = 0\,\,(a,b,c \in \mathbb{R},a \ne 0)\) luôn có nghiệm.
Câu 238: Cho hai số phức \(z_1,z_2\) thỏa mãn \({z_1},{z_2} \ne 0;{z_1} + {z_2} \ne 0\) và \(\frac{1}{{{z_1} + {z_2}}} = \frac{1}{{{z_1}}} + \frac{2}{{{z_2}}}.\) Tính \(\left | \frac{{z_1}}{{z_2}} \right |.\) A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) C. \(2\sqrt{3}\) D. \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\frac{1}{{{z_1} + {z_2}}} = \frac{1}{{{z_1}}} + \frac{2}{{{z_2}}} \Leftrightarrow \frac{{{z_1}}}{{{z_1} + {z_2}}} = 1 + \frac{{2{z_1}}}{{{z_2}}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}}}{{\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + 1}} = 1 + \frac{{2{z_1}}}{{{z_2}}}\). Đặt \(t = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\) Khi đó \(\frac{t}{{t + 1}} = 1 + 2t \Rightarrow 2{t^2} + 2t + 1 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = \frac{{ - 1 + i}}{2}}\\ {t = \frac{{ - 1 - i}}{2}} \end{array}} \right. \Rightarrow \left| t \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Câu 239: Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn số phức $z_1 = a + bi$, M’ là điểm biểu diễn số phức $z_2 = a - bi$. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M' đối xứng với M qua Oy. B. M' đối xứng với M qua Ox. C. M' đối xứng với M qua O. D. M' đối xứng với M qua đường thẳng y=x. Spoiler: Xem đáp án Điểm M và M’ được biểu diễn trên mặt phẳng phức như hình bên. Dễ thấy M’ đối xứng với M qua Ox.
Câu 240: Cho số phức \(z = \frac{{4 - 3i}}{{1 + 2i}} \). Tìm số phức $\overline z$ liên hợp của $z$. A. \(\overline z = - \frac{2}{5} - \frac{{11}}{5}i\) B. \(\overline z = \frac{2}{5} - \frac{{11}}{5}i\) C. \(\overline z = \frac{2}{5} + \frac{{11}}{5}i\) D. \(\overline z = - \frac{2}{5} + \frac{{11}}{5}i\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(z = \frac{{4 - 3i}}{{1 + 2i}} = \frac{{(4 - 3i)(1 - 2i)}}{{(1 + 2i)(1 - 2i)}} = \frac{{4 - 8i - 3i + 6{i^2}}}{{1 - 4{i^2}}} = - \frac{2}{5} - \frac{{11}}{5}i\) \(\Rightarrow \overline z = - \frac{2}{5} + \frac{{11}}{5}i.\)
Câu 241: Cho số phức z thỏa mãn $\left| {z - 2 - 3i} \right| = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của \(w=\left| {\overline z + 1 + i} \right|.\) A. \(\sqrt{13}+2\) B. 4 C. 6 D. \(\sqrt{13}+1\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi;a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow \left| {z - 2 - 3i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 3} \right)i} \right| = 1\) \(\Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\) Đặt \(a - 2 = \sin t;b - 3 = \cos t.\) Khi đó \(\left| {\overline z + 1 + i} \right| = \left| {\left( {a + 1} \right) + \left( {1 - b} \right)i} \right| = \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - b} \right)}^2}}\) Ta có \({\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {\sin t + 3} \right)^2} + {\left( {\cos t + 2} \right)^2}\) \(= 14 + 6\sin t + 4\cos t \ge 14 + \sqrt {{6^2} + {4^2}} = 14 + 2\sqrt {13}\) Do đó \(\left| {\overline z + 1 + i} \right| \ge 1 + \sqrt {13}\)
