Câu 242: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = \sqrt 2\) và \(z^2\) là số thuần ảo. A. 3 B. 1 C. 4 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi;a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow {z^2} = \left( {{a^2} - {b^2}} \right) + 2abi\). Ta có \(z^2\) là số thuần ảo nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^2} - {b^2} = 0}\\ {ab \ne 0} \end{array}} \right.\left( 1 \right)\) Mặt khác \(\left| {z - i} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 2\left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^2} = {b^2}}\\ {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} = 2} \end{array}}\\ {ab \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}}\\ {b = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \end{array}} \right.}\\ {{a^2} = {b^2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}}\\ {a = \pm \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}}\\ {a = \pm \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\) Suy ra có bốn điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đề bài.
Câu 243: Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ: Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức \({\rm{w}} = \frac{i}{{\overline z }}\)? A. B. C. D. Spoiler: Xem đáp án Gọi \(z = a + bi;a,b \in \mathbb{R}.\) Từ giả thiết điểm biểu diễn số phức z nằm ở góc phần tư thứ nhất nên a,b>0. Ta có \(w = \frac{i}{{\overline z }} = \frac{i}{{a - bi}} = \frac{{i\left( {a + bi} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} = - \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}}i\) Do a,b>0 nên \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}} < 0\\ \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} > 0 \end{array} \right. \Rightarrow\) điểm biểu diễn số phức \(\omega\) nằm ở góc phần tư thứ hai.
Câu 244: Gọi A, B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Tính độ dài đoạn thẳng AB. A. AB=6 B. AB=2 C. AB=12 D. AB=4 Spoiler: Xem đáp án \({z^2} + 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {z = - 1 - 3i}\\ {z = - 1 + 3i} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A\left( { - 1; - 3} \right)}\\ {B\left( { - 1;3} \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow AB = 6.\)
Câu 245: Biết phương trình \({z^2} + az + b = 0\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) có một nghiệm là $z = - 2 + i$. Tính $S=a-b$. A. S=9 B. S=1 C. S=4 D. S=-1 Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\left( { - 2 + i} \right)^2} + a\left( { - 2 + i} \right) + b = 0\) \(\Leftrightarrow {i^2} - 4i + 4 - 2a + ai + b = 0 \Leftrightarrow 3 - 2a + b + ai - 4i = 0\) \(\Leftrightarrow \left( {3 - 2a + b} \right) + i\left( {a - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - 2a + b = 0}\\ {a - 4 = 0} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 4}\\ {b = 5} \end{array}} \right. \Rightarrow a - b = 1\)
Câu 246: Tìm S là tổng phần thực và phần ảo của số phức \(z = \left( {1 + 2i} \right)\left( {3 - i} \right).\) A. S=6. B. S=10. C. S=5. D. S=0. Spoiler: Xem đáp án Ta có \(z = \left( {1 + 2i} \right)\left( {3 - i} \right) = 3 - i + 6i - 2{i^2} = 5 + 5i.\) Suy ra tổng phần thực và phần ảo của z bằng 10.
Câu 247: Cho các số phức z, w thỏa mãn \(\left| {z + 2 - 2i} \right| = \left| {z - 4i} \right|,w = iz + 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left | w \right |\) A. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) B. 2 C. \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\) D. \(2\sqrt{2}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in\mathbb{R} } \right)\) Khi đó \(z + 2 - 2i = a + 2 + \left( {b - 2} \right)i\) và \(z - 4i = a + \left( {b - 4} \right)i\) Nên ta có \({\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} \Leftrightarrow a + b = 2 \Leftrightarrow b = 2 - a\) Khi đó \(w = iz + 1 = \left( {a + bi} \right)i + 1 = 1 - b + ai\) \(\Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a - 1} \right)}^2}}\) Dễ thấy \({a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = 2{a^2} - 2a + 1 = 2{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2} \Rightarrow \left| w \right| \ge \sqrt {\frac{1}{2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \(\Rightarrow {\min _{\left| w \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Câu 248: Gọi \(z_1,z_2\) là các nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2x + 5 = 0\). Tính \(M = \left| {z_1^2} \right| + \left| {z_2^2} \right|.\) A. \(M = 12\) B. \(M = 2\sqrt {34}\) C. \(M = 4\sqrt 5\) D. \(M = 10\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({z^2} + 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + 2} \right)^2} = {i^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {z = i - 2}\\ {z = - i - 2} \end{array}} \right.\) \(\Rightarrow M = \left| {z_1^2} \right| + \left| {z_2^2} \right| = 2.5 = 10.\)
Câu 249: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm \(A\left( {0;4} \right),B\left( {1;4} \right),C\left( {1; - 1} \right).\) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biết rằng G là điểm biểu diễn của số phức z. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. \(z=2-i\) B. \(z = 3 + \frac{3}{2}i\) C. \(z=2+i\) D. \(z = 3 - \frac{3}{2}i\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(G\left( {\frac{{4 + 1 + 1}}{3};\frac{{0 + 4 - 1}}{3}} \right) \Rightarrow G\left( {2;1} \right) \Rightarrow z = 2 + i.\)
Câu 250: Cho các số phức \(z = 1 + 2i,w = 2 + i.\) Số phức \(u = z.\overline w .\) Khẳng định nào sau đây là đúng về số phức u? A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3. B. Phần thực là 0 và phần ảo là 3. C. Phần thực là 0 và phần ảo là 3i. D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i. Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overline w = 2 - i \Rightarrow u = \left( {1 + 2i} \right)\left( {2 - i} \right) = 4 + 3i.\) Do đó u có phần thực là 4 và phần ảo là 3.
Câu 251: Cho phương trình \({z^2} - 2x + 2 = 0.\) Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Phương trình đã cho không có nghiệm nào là số ảo B. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức. C. Phương trình đã cho không có nghiệm phức. D. Phương trình đã cho không có nghiệm thực. Spoiler: Xem đáp án \({z^2} - 2z + 2 = 0 \Leftrightarrow z = 1 \pm i.\) Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức là \(z = 1 \pm i.\)
