Câu 252: Cho z là một số ảo khác 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. \(z + \overline z = 0\) B. \(z=\overline{z}\) C. Phần ảo của z bằng 0 D. \(\overline{z}\) là số thực Spoiler: Xem đáp án Do z là một số ảo khác 0 nên \(z = bi \Rightarrow \overline z = - bi \Rightarrow z + \overline z = 0.\)
Câu 253: Cho A, B, C là các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn \({z^3} + i = 0\). Tìm phát biểu sai? A. Tam giác ABC đều. B. Tam giác ABC có trọng tâm là O(0;0). C. Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là O(0;0). D. \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({z^3} + i = 0 \Leftrightarrow {z^3} - {i^3} = 0 \Leftrightarrow \left( {z - i} \right)\left( {{z^2} + iz + {i^2}} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {z = i}\\ {{{\left( {z + \frac{i}{2}} \right)}^2} = \frac{3}{4}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {z = i}\\ {z = \frac{{ \pm \sqrt 3 }}{2} - \frac{i}{2}} \end{array}} \right.\) Vậy: \(A\left( {0;1} \right);B\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}} \right),C\left( {\frac{{ - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right).\) Do \(AB = BC = CA = \sqrt 3 \Rightarrow \Delta ABC\) đều nên các đáp án A, B, C đúng. Lại có \({S_{ABC}} = \frac{{\left( {{{\sqrt 3 }^2}} \right)\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\) nên D sai.
Câu 254: Tập hợp điểm biểu diễn số phức \(\left| {z - 2i} \right| = 3\) là đường tròn tâm I. Tìm tất cả giá trị thực của $m$ thỏa khoảng cách từ I đến đường thẳng $x + 4y - m =0$ bằng $\frac{1}{5}$ A. \(m = 8;m = - 8.\) B. \(m = 8;m = 9.\) C. \(m = -7;m = 9.\) D. \(m = 7;m = 9.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(z = x + yi\,\left( {x,y \in\mathbb{R} } \right)\) Khi đó \(\left| {z - 2i} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 2} \right)i} \right| = 3\)\(\Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\) Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức \(\left| {z - 2i} \right| = 3\) là đường tròn tâm I(0;2). Theo đề: \(d\left( {I;d} \right) = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{{\left| {8 - m} \right|}}{5} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 7\\ m = 9 \end{array} \right..\)
Câu 255: Cho số phức z thỏa mãn \(\frac{z}{{1 - 2i}} + \bar z = 2.\) Tìm phần thực của số phức \({\rm{w}} = {z^2} - z.\) A. 3. B. -5. C. 1. D. 2. Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \bar z = a - bi \Rightarrow \frac{z}{{1 - 2i}} + \bar z = 2\\ \Rightarrow \frac{{a + bi}}{{1 - 2i}} + za - bi = 2\\ \Leftrightarrow a + bi + \left( {a - bi} \right)\left( {1 - 2i} \right) = 2\left( {1 - 2i} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + a - 2b = 2\\ b - 2a - b = - 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = 1 \end{array} \right. \Rightarrow z = 2 + i \end{array}\) Suy ra: \({\rm{w}} = {z^2} - z = {\left( {2 + i} \right)^2} - \left( {2 + i} \right) = 1 - 5i.\) Vậy phần thực của số w là 1.
Câu 256: Tìm số phức z biết \(\left| z \right| = 5\) và phần thực lớn hơn phần ảo một đơn vị. A. \({z_1} = - 4 - 3i\); \({z_2} = 3 + 4i.\) B. \({z_1} = 4 + 3i\); \({z_2} = -3 - 4i.\) C. \({z_1} = 3-4i;\) \({z_2} = 4-3i.\) D. \({z_1} =4+3i;\) \({z_2} = -4-3i.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(z = a + bi\) với \(a;b \in \mathbb{R}.\) Ta có: \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = 5\\ a - b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5\\ a = 1 + b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {1 + b} \right)^2} + {b^2} = 25\\ a = 1 + b \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{b^2} + 2b - 24 = 0\\ a = 1 + b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 3 \Rightarrow a = 4\\ b = - 4 \Rightarrow a = - 3 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy số phức cần tìm là \({z_1} = 4 + 3i;{\rm{ }}{z_2} = - 3 - 4i.\)
Câu 257: Cho số phức \(z = 6 + 7i.\) Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng phức. A. M(6;7). B. M(-6;7). C. M(-6;-7). D. M(6;-7). Spoiler: Xem đáp án Số phức z=a+bi \(\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là M(a;b). Do đó z=6+7i có điểm biểu diễn là M(6;7).
Câu 258: Tìm các số thực x,y thỏa mãn: \(\left( {x + y} \right) + \left( {2x - y} \right)i = 3 - 6i.\) A. x=1; y=-4. B. x=-1; y=-4. C. x=4;y=-1. D. x=-1;y=4. Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left( {x + y} \right) + \left( {2x - y} \right)i = 3 - 6i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 3\\ 2x - y = - 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 4 \end{array} \right..\)
Câu 259: Kí hiệu \({z_1},{z_2}\) (qui ước: \(z_1\) là số phức có phần ảo lớn hơn) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} z.\bar z = 1\\ \left| {{z^2} + 2\bar z - 1} \right| = \sqrt {\frac{8}{{27}}} \end{array} \right..\) Tính giá trị của \(S = 3{z_1} + 6{z_2}.\) A. \(S = 6 + \sqrt 5 i\) B. \(S = -6 + \sqrt 5 i\) C. \(S = -6 - \sqrt 5 i\) D. \(S = 6 - \sqrt 5 i\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi\,\left( {x,y \in\mathbb{R} } \right)\) suy ra \(\bar z = x - yi.\) Khi đó ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {x + yi} \right)\left( {x - yi} \right) = 1\\ \left| {{{\left( {x + yi} \right)}^2} + 2\left( {x - yi} \right) - 1} \right| = \sqrt {\frac{8}{{27}}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {y^2} = 1 - {x^2}\\ 4{x^3} - {x^2} - 2x + \frac{{52}}{{27}} = 0 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{2}{3}\\ {y^2} = \frac{5}{9} \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{{13}}{{12}}\\ {y^2} = - \frac{{25}}{{144}} \end{array} \right.\left( L \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{2}{3}\\ y = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{2}{3}\\ y = - \frac{{\sqrt 5 }}{3} \end{array} \right. \end{array} \right.\) Suy ra \({z_1} = \frac{2}{3} + \frac{{\sqrt 5 }}{3}i,\,\,{z_2} = \frac{2}{3} - \frac{{\sqrt 5 }}{3}i\) Vậy \(3{z_1} + 6{z_2} = 6 - \sqrt 5 i.\)
Câu 260: Gọi \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) là các nghiệm phức của phương trình \({z^4} - 3{z^2} - 4 = 0.\) Tính giá trị biểu thức \(S = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^2.\) A. S=2 B. S=4 C. S=6 D. S=8 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\left( {{z^2}} \right)^2} - 3\left( {{z^2}} \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 1} \right)\left( {{z^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z^2} = - 1}\\ {{z^2} = 4} \end{array}} \right.\) Suy ra \(S = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^2 = - 1 + \left( { - 1} \right) + 4 + 4 = 6.\)
Câu 261: Tập hợp tất cả các điểm biểu diển số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = 1\) là một đường tròn. Gọi I là tâm của đường tròn này, tìm tọa độ điểm I. A. \(I(0; - 1)\) B. \(I(0; 1)\) C. \(I(1; 0)\) D. \(I(-1;0)\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi\,;\,\,\,x,y \in \mathbb{R}.\) Ta có: \(\left| {z - i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {x + (y - 1)i} \right| = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {(y - 1)^2} = 1.\) Vậy tâm I(0;1).
