Câu 262: Cho hai số phức \({z_1} = 5 - 2i\) và \({z_2} = 3 - 4i.\) Tìm số phức liên hợp của số phức \(w = \overline {{z_1}} + {z_2} + 2{z_1}.\overline {{z_2}} .\) A. \(\overline w = 54 + 26i\) B. \(\overline w = -54 - 26i\) C. \(\overline w = 54 - 26i\) D. \(\overline w = 54 -30i\) Spoiler: Xem đáp án \(w = 5 + 2i + 3 - 4i + 2(5 - 2i)(3 + 4i) = 54 + 26i \Rightarrow \bar w = 54 - 26i.\)
Câu 263: Tìm cặp số thực x, y thỏa mãn \(x + 2y + \left( {2x - y} \right)i = 2x + y + \left( {x + 2y} \right)i.\) A. \(x = y = 0\) B. \(x = y = \frac{1}{2}\) C. \(x = \frac{1}{3};y = \frac{2}{3}\) D. \(x = - \frac{1}{3};y = - \frac{2}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} x + 2y + \left( {2x - y} \right)i = 2x + y + \left( {x + 2y} \right)i\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2y - 2x - y} \right) + \left( {2x - y - z - 2y} \right)i = 0 \end{array}\) \(\Leftrightarrow \left( {y - x} \right) + \left( {x - 3y} \right)i = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = y\\ x = 3y \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 0.\)
Câu 264: Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\bar z\), biết rằng \(z = \left( {1 + 2i} \right)\left( { - 2 + i} \right).\) A. Số phức \(\bar z\) có phần thực là -4, phần ảo là -3. B. Số phức \(\bar z\) có phần thực là -4, phần ảo là 3. C. Số phức \(\bar z\) có phần thực là 4, phần ảo là -3. D. Số phức \(\bar z\) có phần thực là 4, phần ảo là 3. Spoiler: Xem đáp án \(z = \left( {1 + 2i} \right)\left( { - 2 + i} \right) \Leftrightarrow z = - 4 - 3i\) suy ra: \(\bar z = - 4 + 3i\). Vậy phần thực và phần ảo của số phức \(\bar z\) lần lượt là -4; 3.
Câu 265: Gọi \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) là bốn nghiệm phức của phương trình \({z^4} - 2{z^2} - 8 = 0.\) Trên mặt phẳng tọa độ, gọi A, B, C, D lần lượt là bốn điểm biểu diễn bốn nghiệm \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) đó. Tính giá trị của P=OA+OB+OC+OD, trong đó O là gốc tọa độ. A. \(P=4.\) B. \(P = 2 + \sqrt 2 .\) C. \(P = 2\sqrt 2 .\) D. \(P = 4 + \sqrt 2 .\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {z^4} - 2{z^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow {({z^2} - 1)^2} = {3^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} = 4\\ {z^2} = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = \pm 2\\ z = \pm i\sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {z_1} = 2;{z_2} = - 2\\ {z_3} = i\sqrt 2 ;{z_4} = - i\sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}\) Kkhi đó: \(A(2;0),B( - 2;0),C(0;\sqrt 2 ),D(0; - \sqrt 2 )\) \(\Rightarrow P = OA + OB + OC + OD = 4 + 2\sqrt 2 .\)
Câu 266: Cho số phức z thỏa mãn \(\left | z\right |\leq 1\) Đặt \(A = \frac{{2z - 1}}{{2 + iz}}.\) Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(\left | A\right |\leq 1\) B. \(\left | A\right |\geq 1\) C. \(\left | A\right |< 1\) D. \(\left | A\right |> 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(A = \frac{{2z - i}}{{2 + iz}} \Leftrightarrow 2A + Aiz = 2z - i \Leftrightarrow 2A + i = 2z - Aiz \Leftrightarrow z = \frac{{2A + i}}{{2 - Ai}}\) Mà \(\left| z \right| \le 1 \Rightarrow \left| {\frac{{2A + i}}{{2 - Ai}}} \right| \le 1 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2A + i} \right|}}{{\left| {2 - Ai} \right|}} \le 1 \Leftrightarrow \left| {2A + i} \right| \le \left| {2 - Ai} \right|(*)\) Đặt \(A = x + yi,\) khi đó (*) \(\Rightarrow \left| {2x + (2y + 1)i} \right| \le \left| {2 + y - xi} \right| \Rightarrow 4{x^2} + {(2y + 1)^2} \le {(2 + y)^2} + {x^2}\) \(\Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} + 4y + 1 \le {x^2} + {y^2} + 4y + 4 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 1 \Rightarrow \left| A \right| \le 1.\)
Câu 267: Cho số phức $z$ thỏa mãn \((2 - i)\overline z - 3z = - 1 + 3i\) Tính giá trị biểu thức $P=a-b$. A. P=5. B. P=-2. C. P=3. D. P=1. Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi(a,b \in ) \Rightarrow \overline z = a - bi\) mà \((2 - i)\overline z - 3z = - 1 + 3i\) Suy ra \((2 - i(a - bi) - 3(a + bi) = - 1 + 3i \Leftrightarrow 2a - 2bi - ai - b - 3a - 3bi + 1 - 3i = 0\) \(\Leftrightarrow 1 - a - b + (a + 5b + 3)i = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 - a - b = 0\\ a + 5b + 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow a - b = 3 \Rightarrow P = 3.\)
Câu 268: Cho hai số phức \({z_1} = 1 - i\) và \({z_2} = 2 + 3i\). Tính môđun của số phức \({\rm{w}} = {z_2} - i{z_1}.\) A. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 3 .\) B. \(\left| {\rm{w}} \right| =5.\) C. \(\left| {\rm{w}} \right| =\sqrt{5}.\) D. \(\left| {\rm{w}} \right| =\sqrt{13}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({z_2} - i{z_1} = 2 + 3i - 1 + {i^2} = 1 + 2i \Rightarrow \left| {{z_2} - i{z_1}} \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 .\)
Câu 269: Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z. A. Phần thực là -3 và phần ảo là 2. B. Phần thực là 2 và phần ảo là -3. C. Phần thực là -3 và phần ảo là 2i. D. Phần thực là 2 và phần ảo là -3i. Spoiler: Xem đáp án Dễ thấy số phức z có phần thực là 2 và phần ảo là -3.
Câu 270: Tìm số phức liên hợp của số phức z thỏa mãn \((1 - i)z = 1 + 3i\) A. \(z = - 1 + 2i\) B. \(z = 1 - 2i\) C. \(z = - 1 - 2i\) D. \(z = 1 +2i\) Spoiler: Xem đáp án \(z = \frac{{1 + 3i}}{{1 - i}} = \frac{{(1 + 3i)(1 + i)}}{2} = - 1 + 2i \Rightarrow \bar z = - 1 - 2i.\)
Câu 271: Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng 2w+i và 3w-5 là hai nghiệm của phương trình \({z^2} + az + b = 0.\) Tìm phần thực của số phức w. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(w = x + yi(x;y \in ) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2w + i = 2x + (2y + 1)i\\ 3w - 5 = 3x - 5 + 3yi \end{array} \right.\) Do 2w+i và 3w -5 là hai nghiệm của \({z^2} + az + b = 0\) Áp dụng định lý Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l} 2x + (2y + 1)i + 3x - 5 + 3yi = a\\ \left[ {2x + (2y + 1)i} \right]\left( {3x - 5 + 3yi} \right) = b \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x - 5 + (5y + 1)i = - a\\ 6{x^2} - 16x - 6{y^2} - 3y + i\left[ {6xy + \left( {2y + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)} \right] = - b \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5y + 1 = 0\\ 6xy + (2y + 1)(3x - 5) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{ - 1}}{5}\\ - \frac{6}{5}x + \frac{3}{5}(3x - 5) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{ - 1}}{5}\\ x = 5 \end{array} \right.\) Do đó phần thực của w là 5
