Câu 272: Kí hiệu $z_1, z_2, z_3$ là ba nghiệm của phương trình phức \({z^3} + 2{z^2} + z - 4 = 0.\) Tính giá trị của biểu thức $T=\sqrt {{z_1^2} + {z_2^2}} + \sqrt {{z_2^2} + {z_3^2}} + \sqrt {{z_3^2} + {z_1^2}}$ A. \(T=4\) B. \(T=4+\sqrt{5}\) C. \(T=4\sqrt{5}\) D. \(T=5\) Spoiler: Xem đáp án \({z^3} + 2{z^2} + z - 4 = 0 \Leftrightarrow (z - 1)({z^2} + 3z + 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 1\\ {z^2} + 3z + 4 = 0 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 1\\ z = - \frac{3}{2} \pm \frac{{\sqrt 7 }}{2}i \end{array} \right.\) Do đó \(T = \sqrt {{1^2} + {0^2}} + \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 7 }}{2}} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{2}} \right)}^2}} = 5.\)
Câu 273: Cho số phức z=2+3i. Tìm số phức \(w = (3 + 2i)z + 2\bar z.\) A. \(w = 5 + 7i\) B. \(w = 4 + 7i\) C. \(w = 7 + 5i\) D. \(w = 7 + 4i\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\bar z = 2 - 3i \Rightarrow w = (3 + 2i)(2 + 3i) + 2(2 - 3i) = 4 + 7i.\)
Câu 274: Cho số phức z thỏa mãn \(z = \frac{{7 - i}}{{2 - i}} \). Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình dưới? A. Điểm P. B. Điểm Q. C. Điểm M. D. Điểm N Spoiler: Xem đáp án Ta có \(z = \frac{{7 - i}}{{2 - i}} = \frac{{(7 - i)(2 + i)}}{{(2 - i)(2 + i)}} = \frac{{15 + 5i}}{5} = 3 + i.\) Do đó điểm biểu diễn z là điểm có tọa độ là (3;1)
Câu 275: Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 3i,{\rm{ }}{\bar z_2} = 4 + 2i\). Tính môđun của số phức \({\rm{w}} = {z_2} - 2{z_1}\) A. \(\left| {\rm{w}} \right| = 2\sqrt {17}\) B. \(\left| {\rm{w}} \right| = 2\sqrt {13}\) C. \(\left| {\rm{w}} \right| = 4\) D. \(\left| {\rm{w}} \right| = 5\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({z_2} = 4 - 2i \Rightarrow {z_2} - 2{z_1} = 2 - 8i \Rightarrow \left| {{z_2} - 2{z_1}} \right| = \sqrt {{2^2} + {{( - 8)}^2}} = 2\sqrt {17}\)
Câu 276: Cho số phức \(z = \frac{{7 - 11i}}{{2 - i}}\) Tìm phần thực và phần ảo của z. A. Phần thực bằng -5 và phần ảo bằng -3i B. Phần thực bằng -5 và phần ảo bằng -3i C. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 3. D. Phân thực bằng 5 vào phần ảo bằng 3i. Spoiler: Xem đáp án Ta có \(z = \frac{{7 - 11i}}{{2 - i}} = \frac{{\left( {7 - 11i} \right)\left( {2 + i} \right)}}{{\left( {2 - i} \right)\left( {2 + i} \right)}} = \frac{{25 - 15i}}{5} = 5 - 3i \Rightarrow \bar z = 5 + 3i.\) Do đó z có phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 3.
Câu 277: Cho ba số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} {z_1} + {z_2} + {z_3} = 0\\ |{z_1}| = |{z_2}| = |{z_3}| = 1 \end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(|z_1^2 + z_2^2 + z_3^2| = |{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}|\) B. \(|z_1^2 + z_2^2 + z_3^2| > |{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}|\) C. \(|z_1^2 + z_2^2 + z_3^2| < |{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}|\) D. \(3 = |z_1^2 + z_2^2 + z_3^2|.|{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}|\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({({z_1} + {z_2} + {z_3})^2} = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + 2({z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1})\) \(\Rightarrow z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = - 2({z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1})\) Mặt khác \(|{z_1}| = 1 \Rightarrow |{z_1}{|^2} = 1 \Leftrightarrow {z_1}.\overline {{z_1}} = 1\), tương tự \({z_2}.\overline {{z_2}} = 1,{z_3}.\overline {{z_3}} = 1\) nên \(\frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2} }} + \frac{1}{{{z_3}}} = \overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} + \overline {{z_3}}\) Khi đó: \({z_1}^2 + {z_2}^2 + {z_3}^2 = - 2{z_1}{z_2}{z_3}\left( {\frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} + \frac{1}{{{z_3}}}} \right)\) \(= -2{z_1}{z_2}{z_3}(\overline {z_1} + \overline {z_2} + \overline {z_3}) = -2{z_1}{z_2}{z_3}(\overline {z_1} + {z_2} + {z_3}) = 0.\) Vậy \(|z_1^2 + z_2^2 + z_3^2| = |{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}|.\)
Câu 278: Cho số phức \(z = a + bi(a,b \in \mathbb{R})\) thỏa mãn \((1 + i)(2z - 1) + (\overline z + 1)(1 - i) = 2 - 2i.\) Tính $P = a + b$. A. P = 0 B. P = 1 C. P = -1 D. \(P=-\frac{1}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi(a,b \in ) \Rightarrow \overline z = a - bi.\) Ta có \((1 + i)(2z - 1) + (\overline z + 1)(1 - i) = 2(1 + i)z + (1 - i)\overline z - 2i\) Suy ra \(2(1 + i)z + (1 - i)\overline z = 2 \Leftrightarrow 2(1 + i)(a + bi) + (1 - i)(a - bi) = 2\) \(\Leftrightarrow 2a - 2b + a - b + (a + b)i = 2 \Leftrightarrow 3a - 3b - 2 + (a + b)i = 0\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 3b - 2 = 0\\ a + b = 0 \end{array} \right. \Rightarrow P = 0.\)
Câu 279: Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {\frac{{z - 1}}{{z + 1}}} \right| = 1.\) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn. B. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trục thực. C. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trục ảo. D. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z một điểm. Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi(x,y \in ),\) ta có \(z - 1 = x + (y - 1)i\) và \(z + i = x + (y + 1)i\) Chú ý \(\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \frac{{|{z_1}|}}{{|{z_2}|}}\) Suy ra \(\left| {\frac{{z - i}}{{z + 1}}} \right| = 1 \Leftrightarrow |z - 1| = |z + 1| \Leftrightarrow {x^2} + {(y - 1)^2} = {x^2} + {(y + 1)^2} \Leftrightarrow y = 0.\)Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thằng y = 0 hay trục thực.
Câu 280: Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = (2 + i)( - 1 + i){(2i + 1)^2}\) A. \(\overline z = 15 + 5i\) B. \(\overline z = 1 + 3i\) C. \(\overline z = 5 + 5i\) D. \(\overline z = 5 - 15i\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(z = (2 + i)( - 1 + i){(2i + 1)^2} = (i - 3)(4i - 3) = 5 - 15i \Rightarrow \overline z = 5 + 15i\)
Câu 281: Tính mô đun của số phức z thỏa mãn \(z.\overline z + 3(z - \overline z ) = 4 - 3i.\) A. \(\left | z \right |=2\) B. \(\left | z \right |=3\) C. \(\left | z \right |=4\) D. \(\left | z \right |=1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = a + bi(a,b \in ) \Rightarrow \overline z = a - bi\) và \(z.\overline z = |z{|^2} = {a^2} + {b^2}\) Khi đó: \(z.\overline z + 3.(z - \overline z ) = 4 - 3i \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 6bi = 4 - 3i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} = 4\\ 6b = - 3 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 0\\ b = - 2 \end{array} \right. \Rightarrow |z| = 2.\)
