Câu 282: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|,\) tìm số phức z có môdun nhỏ nhất. A. \(z = - 1 + i\) B. \(z = - 2 + 2i\) C. \(z = 2 + 2i\) D. \(z = 3 + 2i\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right),\) khi đó \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {x - 2 + \left( {y - 4} \right)i} \right| = \left| {x + \left( {y - 2} \right)i} \right|\) \(\Rightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}}\) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 20 = {x^2} + {y^2} - 4y + 4 \Leftrightarrow x + y = 4\) Mặt khác: \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {4 - x} \right)}^2}} = \sqrt {2{x^2} - 8x + 16}\) \(= \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \ge 2\sqrt 2 \Rightarrow {\left| z \right|_{\min }} = 2\sqrt 2\) Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = 2 \Rightarrow z = 2 + 2i\).
Câu 283: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - i} \right| = 1\) trên mặt phẳng phức. A. Đường thẳng đi qua hai điểm \(A(1;1)\) và \(B(-1;1)\) B. Hai điểm \(A(1;1)\) và \(B(-1;1)\) C. Đường tròn tâm \(I(0;1)\) bán kính \(R=1\) D. Đường tròn tâm \(I(0;-1)\) bán kính \(R=1\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\), khi đó \(\left| {z - i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}\) \(= 1 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\) Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đừờng tròn tâm I(0;1) bán kính R=1.
Câu 284: Điểm nào trong các điểm A, B, C, D biểu diễn cho số phức có môđun bằng \(2\sqrt{2}\) A. Điểm A B. Điểm B C. Điểm C D. Điểm D Spoiler: Xem đáp án D biểu diễn cho \(2+2i\). Số phức này có môđun bằng \(2\sqrt{2}\)
Câu 285: Cho các số phức \({z_1} = 1 - 2i,{z_2} = 1 - 3i.\) Tính môđun của số phức \({\bar z_1} + {\bar z_2}.\) A. \(\left| {{{\bar z}_1} + {{\bar z}_2}} \right| = 5\) B. \(\left| {{{\bar z}_1} + {{\bar z}_2}} \right| = \sqrt {26}\) C. \(\left| {{{\bar z}_1} + {{\bar z}_2}} \right| = \sqrt {29}\) D. \(\left| {{{\bar z}_1} + {{\bar z}_2}} \right| = \sqrt {23}\) Spoiler: Xem đáp án \(\left\{ \begin{array}{l} {z_1} = 1 - 2i\\ {z_2} = 1 - 3i \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{\bar z}_1} = 1 + 2i\\ {{\bar z}_2} = 1 + 3i \end{array} \right. \Rightarrow {\bar z_1} + {\bar z_2} = 2 + 5i \Rightarrow \left| {{{\bar z}_1} + {{\bar z}_2}} \right| = \sqrt {29} .\)
Câu 286: Cho số phức \(z = 2 + 4i\). Tìm phần thực, phần ảo của số phức \(w = z - i.\) A. Phần thực bằng -2 và phần ảo bằng -3i B. Phần thực bằng -2 và phần ảo bằng -3 C. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 3i D. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 3 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(w = z - i = 2 + 4i - i = 2 + 3i\) Do vậy số phức \(w = z - i\) có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 3.
Câu 287: Tìm tập hợp các điểm biểu biểu diễn số phức \(\omega = (1 - 2i)z + 3\) trên mặt phẳng phức biết \(\left| {\omega + 2} \right| = 5.\) A. Đường tròn\({(x - 1)^2} + {(y - 4)^2} = 125\) B. Đường tròn \({(x - 5)^2} + {(y - 4)^2} = 125\) C. Đường tròn \({(x +1)^2} + {(y - 2)^2} = 125\) D. Đường thẳng x=2 Spoiler: Xem đáp án Gọi \(M(x;y),\,\,(x,y \in \mathbb{R})\) thì M là điểm biểu diễn của số phức \(\omega = x + yi.\) \(\omega = (1 - 2i)z + 3 \Rightarrow z = \frac{{x - 3 + yi}}{{1 - 2i}} = \frac{{x - 2y - 3}}{5} + \frac{{2x + y - 6}}{5}i.\)Theo giả thiết: \(\begin{array}{l} \left| {z + 2} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {\frac{{x - 2y + 7}}{5} + \frac{{2x + y - 6}}{5}i} \right| = 5\\ \Leftrightarrow {(x - 2y + 7)^2} + {(2x + y - 6)^2} = 325 \end{array}\) Suy ra: \(5{(x - 1)^2} + 5{(y - 4)^2} = 625 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 4)^2} = 125.\)
Câu 288: Gọi \(z_1\) và \(z_2\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 10 = 0.\) Gọi M, N, P lầ lượt là các điểm biểu diễn của số phức \(z_1,z_2\) và số phức \(w=x+yi.\) Tìm w để MNP là tam giác đều. A. \({\rm{w}} = 1 + \sqrt {27}\) hay \({\rm{w}} = 1 - \sqrt {27}\) B. \({\rm{w}} = i + \sqrt {27}\) hay \({\rm{w}} = i - \sqrt {27}\) C. \({\rm{w}} = \sqrt {27}-i\) hay \({\rm{w}} = \sqrt {27}+i\) D. \({\rm{w}} = \sqrt {27}-i\) hay \({\rm{w}} =- \sqrt {27}+i\) Spoiler: Xem đáp án \({z^2} - 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z_1} = 1 - 3i\\ {z_2} = 1 + 3i \end{array} \right..\) Suy ra: \(M(1; - 3),\,\,N(1;3)\) và \(P(x,y).\) Ta có: \(M{N^2} = 36,\,\,M{P^2} = {(x - 1)^2} + {(y + 3)^2},\,\,N{P^2} = \,{(x - 1)^2} + {(y - 3)^3}.\) Tam giác MNP đều khi: \(\left\{ \begin{array}{l} N{P^2} = M{P^2}\\ N{P^2} = M{N^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 0\\ {(x - 1)^2} = 27 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt {27} \\ y = 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - \sqrt {27} \\ y = 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\) Vậy: \({\rm{w}} = 1 + \sqrt {27}\) hay \({\rm{w}} = 1 - \sqrt {27} .\)
Câu 289: Cho A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức 1+i, 2+4i, 6+5i trên mặt phẳng phức. Tìm số phức z có điểm biểu diễn là D sao cho ABDC là hình bình hành. A. z=7+8i B. z=5+2i C. z=-3 D. z=-3+8i Spoiler: Xem đáp án Theo giả thuyết ta có \(A(1;1),\,B(2;4),\,C(6;5).\) Gọi \(D(x,y)\) ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;3} \right),\,\overrightarrow {CD} = \left( {x - 6;y - 5} \right)\) Tứ giác ABDC là hình bình hành khi: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 = x - 6\\ 3 = y - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 7\\ y = 8 \end{array} \right..\)
Câu 290: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \(\left| {z + \overline z + 3} \right| = 4\) trên mặt phẳng phức. A. Đường thẳng \(x=\frac{1}{2}\) và \(x=-\frac{7}{2}.\) B. Đường thẳng \(x=-\frac{1}{2}\) và \(x=-\frac{7}{2}.\) C. Đường thẳng \(x=\frac{1}{2}\) và \(x=\frac{7}{2}.\) D. Đường thẳng \(x=-\frac{1}{2}\) và \(x=\frac{7}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M(x,y) là điểm biểu diễn của số phức \(z = x + yi\,\,(x,y \in \mathbb{R}).\) \(\begin{array}{l} \left| {z + \overline z + 3} \right| = 4 \Rightarrow \left| {(x + yi) + (x - yi) + 3} \right| = 4\\ \Rightarrow \left| {2x + 3} \right| = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{1}{2}\\ x = - \frac{7}{2} \end{array} \right.. \end{array}\) Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hai đường thẳng \(x=\frac{1}{2}\) và \(x=-\frac{7}{2}.\)
Câu 291: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \(\left| {z - 1} \right| = \left| {(1 + i)z} \right|\) trên mặt phẳng phức. A. Đường tròn tâm I(0;-1), bán kính \(r=\sqrt 2.\) B. Đường tròn tâm I(0;1), bán kính \(r=\sqrt 2.\) C. Đường tròn tâm I(1;0), bán kính \(r=\sqrt 2.\) D. Đường tròn tâm I(-1;0), bán kính \(r=\sqrt 2.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M(x,y) là điểm biểu diễn của số phức \(z = x + yi\,\,(x,y \in \mathbb{R}).\) Ta có: \(\begin{array}{l} \left| {z - 1} \right| = \left| {(1 + i)z} \right| \Leftrightarrow \left| {x + yi - 1} \right| = \left| {(1 + i)(x + yi)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {(x - 1) + yi} \right| = \left| {(x - y) + (x + y)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = {(x - y)^2} + {(x + y)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {y^2} = 2. \end{array}\)
