Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn \({z^3} + 4z = 0\). Khi đó: A. \(\left| z \right| \in \left\{ {1;2} \right\}\) B. \(\left| z \right| \in \left\{ 0 \right\}\) C. \(\left| z \right| \in \left\{ {0;2} \right\}\) D. \(\left| z \right| \in \left\{ {0;1} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án \({z^3} + 4z = 0 \Leftrightarrow z\left( {{z^2} + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 0}\\{{z^2} = - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 0}\\{z = 2i}\\{z = - 2i}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| z \right| = 0}\\{\left| z \right| = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow \left| z \right| \in \left\{ {0;2} \right\}} \right.} \right..\)
Câu 22: Xét \(f\left( z \right) = - {z^3} - 1\) với \(z \in \mathbb{C}\). Tính \(S = f\left( {{z_0}} \right) + f\left( {{{\overline z }_0}} \right)\), trong đó \({z_0} = 1 + i.\) A. \(S = 2\) B. \(S = 4\) C. \(S = 1\) D. \(S = 3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(S = \left( { - z_0^3 - 1} \right) + \left( { - {{\overline z }_0}^3 - 1} \right) = \left[ { - {{\left( {1 + i} \right)}^3} - 1} \right] + \left[ { - {{\left( {1 - i} \right)}^3} - 1} \right] = 2.\)
Câu 23: Cho \(z = \frac{{1 - 5i}}{{1 + i}} + {\left( {2 - i} \right)^2}\). Môđun của z bằng: A. 1 B. \(\sqrt 5 \) C. 2 D. \(5\sqrt 2 \) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(z = \frac{{1 - 5i}}{{1 + i}} + {\left( {2 - i} \right)^2} = 1 - 7i \Rightarrow \left| z \right| = 5\sqrt 2 .\)
Câu 24: Tập hợp tất cả các điểm M trên mặt phẳng biểu diễn số phức z thoả mãn \(\left( {1 - i} \right)\overline z = \left( {1 + i} \right)z\) là: A. \(y = 0\) B. \(x + y = 0\) C. \(x - y = 0\) D. \(x = 0\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi;{\rm{ }}x,y \in \mathbb{R} \Rightarrow \left( {1 - i} \right)\left( {x - yi} \right) = \left( {1 + i} \right)\left( {x + yi} \right) \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)i = 0 \Rightarrow x + y = 0\) Suy ra tập hợp điểm biểu diễn điểm M là đường thẳng \(x + y = 0.\)
Câu 25: Cho tam giác ABC đều cạnh a và nội tiếp trong đường tròn tâm O, AD là đường kính của đường tròn tâm O. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho phần màu vàng nhạt (hình vẽ bên dưới) quay quanh đường thẳng AD bằng A. \(\frac{{23\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{216}}\) B. \(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\) C. \(\frac{{20\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{217}}\) D. \(\frac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích của khối cầu là \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{27}}{a^3}\) Thể tích của khối nón có tam giác ABC thiết diện qua trục là: \({V_2} = \frac{1}{3}\pi {R^2}.h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\) Vậy thể tích phần tô đậm cần tính là \(V = {V_1} - {V_2} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{27}}{a^3} - \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}} = \frac{{23\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{216}}.\)
Câu 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi S là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(\left| {\frac{{z + 2}}{{z + 2i}}} \right| = 1.\) Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. S là đường thẳng \(x - y = 0.\) B. S là trục Ox. C. S là trục Oy. D. S là đường tròn có tâm \(I\left( { - 2;2} \right)\) và bán kính \(R = 1.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left| {\frac{{z + 2}}{{z + 2i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {z + 2} \right| = \left| {z + 2i} \right|\) Đặt: \(z = x + yi,\) ta có:\({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \Leftrightarrow x - y = 0.\)
Câu 27: Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\sqrt 2 \) và \({z^2}\) là số thuần ảo? A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \left| {a + bi} \right| = 2\sqrt 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 8\left( 1 \right).\) Ta có \({z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\) là số thuần ảo khi và chỉ khi \({a^2} - {b^2} = 0\,\,\left( 2 \right).\) Từ (1) và (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 8\\{a^2} - {b^2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = 2 \Rightarrow \) Có 4 số phức z thỏa mãn đề bài.
Câu 28: Tìm số phức z thỏa \(\left| z \right| = \left| {z + 1} \right|\) và \(\left| z \right| = \left| {z + i} \right|.\) A. \(z = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i.\) B. \(z = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i.\) C. \(z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i.\) D. \(z = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {a + bi} \right| = \left| {a + 1 + bi} \right|\\\left| {a + bi} \right| = \left| {a + \left( {1 + b} \right)i} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {b^2}\\{a^2} + {b^2} = {a^2} + {\left( {1 + b} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = - \frac{1}{2}.\) \( \Rightarrow z = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i.\)
Câu 29: Tính tổng S của phần thực và phần ảo của số phức \(z = \frac{{\left( { - 1 - i} \right)\left[ {\left( {2 - i} \right) - \left( {3 - 2i} \right)} \right]}}{{1 - i}}.\) A. \(S = \sqrt 2 .\) B. \(S = 1.\) C. \(S = 2.\) D. \(S = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = \frac{{\left( { - 1 - i} \right)\left[ {\left( {2 - i} \right) - \left( {3 - 2i} \right)} \right]}}{{1 - i}} = 1 + i \Rightarrow S = 2.\)
Câu 30: Cho số phức \(z = {\left( {3 + 2i} \right)^2}.\) Tìm phần ảo của số phức \(\overline z .\) A. 5 B. \( - 12.\) C. 12 D. \( - 5.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = {\left( {3 + 2i} \right)^2} = 5 + 12i \Rightarrow \overline z = 5 - 12i.\)
