Câu 292: Tính tổng S của các số phức z thỏa \(\frac{{\overline z }}{z} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i\) biết \(\left| z \right| = \sqrt 5 .\) A. S=2 B. S=2i C. S=i D. S=0 Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(z \ne 0\) Khi đó: \(\frac{{\overline z }}{z} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i \Rightarrow \overline z = \left( {\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i} \right)z \Rightarrow 5\overline z = (3 - 4i)z\) Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\,\,(a,b \in\mathbb{R} ,\,\,{a^2} + {b^2} \ne 0)\) Suy ra: \(5(a - bi) = (3 - 4i)(a + bi) \Leftrightarrow 5a - 5bi = (3a + 4b) + (3b - 4a)i \Leftrightarrow a = 2b\,(1)\) Do \(\left| z \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 5\,(2)\) Từ (1) (2) \(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = 1 \end{array} \right. \Rightarrow z = 2 + i\\ \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow z = - 2 - i \end{array} \right.\)
Câu 293: Tìm tập nghiệm S của phương trình \({z^4} + 2{z^2} - 3 = 0\) trên tập số phức. A. \(S = \left\{ {1; - 1;3i; - 3i} \right\}\) B. \(S = \left\{ {1; - 2;i; - i} \right\}\) C. \(S = \left\{ {1;3} \right\}\) D. \(S = \left\{ {1; - 1;i\sqrt 3 ; - i\sqrt 3 } \right\}\) Spoiler: Xem đáp án \({z^4} + 2{z^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} = 1\\ {z^2} = - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = \pm 1\\ z = \pm i\sqrt 3 \end{array} \right..\)
Câu 294: Gọi $z_1$ và $z_2$ là các nghiệm của phương trình $z^2-2z+5=0$ trên tập số phức. Tính $P={z_1}^4 + {z_2}^4$. A. P=-14 B. P=14 C. P=-14i D. P=14i Spoiler: Xem đáp án \({z^2} - 2z + 5 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} z = 1 - 2i\\ z = 1 + 2i \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow P = {z_1}^4 + {z_2}^4 = {\left( {{z_1}^2 + {z_2}^2} \right)^2} + 2{z_1}^2.{z_2}^2\\ = {\left( {{{\left( {1 - 2i} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2i} \right)}^2}} \right)^2} - 2{\left( {(1 - 2i)(1 + 2i)} \right)^2} = 36 - 50 = - 14. \end{array}\)
Câu 295: Tìm số phức z thỏa \(\left| z \right| + z = 3 + 4i.\) A. \(z = - \frac{7}{6} + 4i\) B. \(z = - \frac{7}{6} - 4i\) C. \(z = \frac{7}{6} - 4i\) D. \(z =- 7+4i\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(z = a + bi,\,\,(a,b \in \mathbb{R}),\) ta có: \(a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} + bi = 3 + 4i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 4\\ a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 4\\ a = - \frac{7}{6} \end{array} \right..\)
Câu 296: Tìm số phức z thỏa \((2 - i)\overline z - 4 = 0.\) A. \(z = \frac{8}{5} - \frac{4}{5}i\) B. \(z = \frac{4}{5} - \frac{8}{5}i\) C. \(z = \frac{2}{5} + \frac{3}{5}i\) D. \(z = \frac{7}{5} - \frac{3}{5}i\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \((2 - i)\overline z - 4 = 0 \Leftrightarrow \overline z = \frac{4}{{2 - i}} = \frac{{4(2 + i)}}{5} = \frac{8}{5} + \frac{4}{5}i \Rightarrow \overline z = \frac{8}{5} - \frac{4}{5}i.\)
Câu 297: Cho số phức z thỏa điều kiện \((1 + i)(z - i) + 2z = 2i.\) Tìm môđun của số phức \({\rm{w}} = \frac{{\overline z - 2z + 1}}{{{z^2}}}.\) A. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {10}\) B. \(\left| {\rm{w}} \right| =- \sqrt {10}\) C. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {8}\) D. \(\left| {\rm{w}} \right| = -\sqrt {8}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} (1 + i)(z - i) + 2z = 2i \Leftrightarrow \left( {1 + i} \right)z - i + 1 + 2z = 2i\\ \Leftrightarrow \left( {3 + i} \right)z = - 1 + 3i \Leftrightarrow z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{3 + i}} = i. \end{array}\) Vậy: \({\rm{w}} = \frac{{\overline z - 2z + 1}}{{{z^2}}} = \frac{{ - i - 2i + 1}}{{{i^2}}} = \frac{{ - 3i + 1}}{{ - 1}} = - 1 + 3i.\) Nên: \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {10} .\)
Câu 298: Cho số phức \(z = \frac{{1 + {i^{2017}}}}{{2 + i}}.\) Khẳng định nào sau đây đúng? A. \(z = \frac{3}{5} + \frac{1}{5}i\) B. \(z = \frac{1}{5} - \frac{3}{5}i\) C. \(z = \frac{1}{5} + \frac{3}{5}i\) D. \(z = \frac{3}{5} - \frac{1}{5}i\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = \frac{{1 + {i^{2017}}}}{{2 + i}} = \frac{{1 + i.{i^{2016}}}}{{2 + i}} = \frac{{1 + i}}{{2 + i}} = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{(2 + i)(2 - i)}} = \frac{3}{5} + \frac{1}{5}i.\)
Câu 299: Tìm giá trị của x, y để \((x + y) + (2x - y)i = 3 - 6i?\) A. \(x = - 1;y = 4\) B. \(x = - 1;y = -4\) C. \(x = 4;y = -1\) D. \(x = 4;y = 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \((x + y) + (2x - y)i = 3 - 6i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 3\\ 2x - y = - 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 4 \end{array} \right..\)
Câu 300: Cho số phức \(z = 6 + 7i.\) Tìm điểm biểu diễn của \(\overline z\) trên mặt phẳng phức. A. M(6;7) B. M(6;-7) C. M(-6;7) D. M(-6;-7) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = 6 + 7i \Rightarrow \overline z = 6 - 7i.\)
Câu 301: Cho số phức \(z = \frac{{1 + i}}{{1 - i}} + \frac{{1 - i}}{{1 + i}}.\) Khẳng định nào sau đây sai? A. z là số thực B. z là số ảo C. Môđun của z bằng 1 D. z có phần thực và phần ảo đều bằng 0 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = \frac{{1 + i}}{{1 - i}} + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 0.\)
