Câu 302: Cho số phức \(z = x + yi \ne 1,\,(x,y \in \mathbb{R}).\) Tìm phần ảo của số phức \({\rm{w}} = \frac{{z + 1}}{{z - 1}}.\) A. \(\frac{{ - 2x}}{{{{(x - 1)}^2} + {y^2}}}\) B. \(\frac{{ - 2y}}{{{{(x - 1)}^2} + {y^2}}}\) C. \(\frac{{ xy}}{{{{(x - 1)}^2} + {y^2}}}\) D. \(\frac{{x+y}}{{{{(x - 1)}^2} + {y^2}}}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \frac{{z + 1}}{{z - 1}} = \frac{{(x + 1) + yi}}{{(x - 1) + yi}} = \frac{{\left[ {(x + 1) + yi} \right]\left[ {(x + 1) - yi} \right]}}{{{{(x - 1)}^2} + {y^2}}}\\ = \frac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{{(x - 1)}^2} + {y^2}}} + \frac{{(x - 1)y - (x + 1)y}}{{{{(x - 1)}^2} + {y^2}}}i\\ = \frac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{{(x - 1)}^2} + {y^2}}} - \frac{{2y}}{{{{(x - 1)}^2} + {y^2}}}i. \end{array}\)
Câu 303: Tìm phần thực của số phức z thỏa mãn $z + 2(z + \overline z ) = 2 - 6i$. A. \(-6\) B. \(\frac{2}{5}\) C. \(-1\) D. \(\frac{3}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(z = x + yi\,\,(x,y \in \mathbb{R})\) Ta có: \(\begin{array}{l} z + 2(z + \overline z ) = 2 - 6i \Leftrightarrow x + yi + 2(x + yi + x - yi) = 2 - 6i\\ \Leftrightarrow 5x + yi = 2 - 6i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x = 2\\ y = - 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{2}{5}\\ y = - 6 \end{array} \right.. \end{array}\)
Câu 304: Cho số phức \(z = 1 + 3i.\) Tìm phần thực của số phức \(z^2.\) A. -8 B. 10 C. 8+6i D. -8+6i Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = 1 + 3i \Rightarrow {z^2} = {(1 + 3i)^2} = - 8 + 6i.\)
Câu 305: Cho số phức \(z=a+bi\). Tìm phần thực của số phức \(z^{-1}.\) A. \(a + b\) B. \(a - b\) C. \(\frac{a}{{{a^2} + {b^2}}}\) D. \(\frac{{ - b}}{{{a^2} + {b^2}}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = a + bi \Rightarrow {z^{ - 1}} = {(a + bi)^{ - 1}} = \frac{1}{{a + bi}} = \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} - \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}}i.\)
Câu 306: Cho số phức \(z = a + bi.\) Khẳng định nào sau đây đúng? A. \(z + \overline z = 2bi\) B. \(z - \overline z = 2a\) C. \(z.\overline z = {a^2} - {b^2}\) D. \(\left| {{z^2}} \right| = {\left| z \right|^2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l} z = a + bi \Rightarrow {z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\\ \Rightarrow \left| {{z^2}} \right| = \sqrt {\left( {{a^2} - {b^2}} \right) + {{(2ab)}^2}} = {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2}. \end{array}\)
Câu 307: Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. \({\left( {1 + i} \right)^{10}} = 32\) B. \({\left( {1 + i} \right)^{10}} = - 32\) C. \({\left( {1 + i} \right)^{10}} = 32i\) D. \({\left( {1 + i} \right)^{10}} = - 32i\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\left( {1 + i} \right)^{10}} = {\left[ {{{(1 + i)}^2}} \right]^5} = {\left( {2i} \right)^5} = 32i.\)
Câu 308: Trên mặt phẳng phức, cho điểm A biểu diễn số phức 3-2i điểm B biểu diễn số phức -1+6i. Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó điểm M biểu diễn số phức nào trong các số phức sau? A. \(z = 1 - 2i\) B. \(z = 2-4i\) C. \(z = 2+4i\) D. \(z = 1+2i\) Spoiler: Xem đáp án Số phức biểu diễn bởi điểm M có dạng \(z = a + bi.\) Với: \(a = \frac{{3 - 1}}{2} = 1;\,b = \frac{{6 - 2}}{2} = 2\) (Do M là trung điểm của AB)
Câu 309: Cho số phức thỏa mãn $z = \frac{{3 + 4i}}{{4 - 3i}}$. Tính môđun của số phức $w=3z+4$. A. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 5\) B. \(\left| {\rm{w}} \right| = 5\) C. \(\left| {\rm{w}} \right| = 25\) D. \(\left| {\rm{w}} \right| = 1\) Spoiler: Xem đáp án \(z = \frac{{3 + 4i}}{{4 - 3i}} = i \Rightarrow 3z + 4 = 3i + 4 \Rightarrow \left| {3z + 4} \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5.\)
Câu 310: Cho số phức $z = a + bi$ với a, b là hai số thực khác 0. Tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(\overline z\) làm nghiệm với mọi a, b. A. \({z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\) B. \({z^2} = {a^2} + {b^2}\) C. \({z^2} - 2az + {a^2} + {b^2} = 0\) D. \({z^2} + 2az + {a^2} - {b^2} = 0\) Spoiler: Xem đáp án Lần lượt xét các phương án. Phương án A: \({z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\) có hai nghiệm \(z = a + bi\) hoặc \(z =- a - bi\) Phương án B: \({z^2} = {a^2} + {b^2}\) có nghiệm \(z = \pm \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\) Phương án C: \({z^2} - 2az + {a^2} + {b^2} = 0\) có nghiệm \(z = a + bi;z = a - bi\) thỏa yêu cầu bài toán. Vậy C là phương án đúng. Kiểm tra tương tự với phương án D.
Câu 311: Trong số các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3,\) gọi \(z_0\) là số phức có môđun lớn nhất. Tìm \(\left| {{z_0}} \right|\) A. \(\left| {{z_0}} \right| = 3\) B. \(\left| {{z_0}} \right|=4\) C. \(\left| {{z_0}} \right|=5\) D. \(\left| {{z_0}} \right|=8\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(z = x + yi;\) Khi đó \(z - 4 + 3i = \left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i\) khi đó: \(\left| {z - 4 + 3i} \right| = \left| {\left( {y - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i} \right| = 3 \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\) Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm \(I\left( {4; - 3} \right);R = 3.\) Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 3\sin t + 4}\\ {y = 3\cos t - 3} \end{array}} \right.\) \(\Rightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {3\sin t + 4} \right)^2} + {\left( {3\cos t - 3} \right)^2}\) \(= 9{\sin ^2}t + 9{\cos ^2}t + 24\sin t - 18\cos t + 25 = 24\sin t - 18\cos t + 34\) \(= 24\sin t - 18\cos t \le \sqrt {\left( {{{24}^2} + {{18}^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right)} = 30\) (BĐT Bunhiacopxki) \(\Rightarrow {x^2} + {y^2} \le 30 + 34 = 64 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le 8 \Rightarrow \left| z \right| \le 8.\)
