Câu 312: Cho số phức \(z = 1 + \sqrt 3 i.\) Tìm số phức \(\frac{1}{z}\). A. \(\frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\) B. \(\frac{1}{z} = \frac{1}{4} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}i\) C. \(\frac{1}{z} = \frac{1}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}i\) D. \(\frac{1}{z} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = 1 + \sqrt 3 i\) suy ra: \(\frac{1}{z} = \frac{1}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}i\)
Câu 313: Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z. Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức \({\rm{w}} = \frac{1}{{iz}}\) là một trong bốn điểm M,N,P,Q. Tìm điểm biểu diễn của số phức w. A. Điểm Q B. Điểm M C. Điểm N D. Điểm O Spoiler: Xem đáp án \({\rm{w}} = \frac{1}{{iz}} \Rightarrow {\rm{w}}z = \frac{1}{i} \Rightarrow \arg \left( {{\rm{w}}z} \right) = \arg \left( {\frac{1}{i}} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi\) Suy ra: \(\arg {\rm{w}} + \arg z = - \frac{\pi }{2}\) Vậy điểm biểu diễn của w là N hoặc P. Ta có: \(\left| z \right| = \left| {\frac{1}{{iz}}} \right| = \frac{1}{{\left| {iz} \right|}} = \frac{1}{{\left| z \right|}} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2\) Suy ra: \(\left| {\rm{w}} \right| = 2\left| z \right|\) Vậy điểm biểu diễn của w là P.
Câu 314: Điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\bar{z}\) A. Phần thực là 3 và phần ảo là -2 B. Phần thực là -3 và phần ảo là 2i C. Phần thực là 3 và phần ảo là -2i D. Phần thực là -3 và phần ảo là 2 Spoiler: Xem đáp án \(A\left( {3;2} \right) \Rightarrow z = 3 + 2i \Rightarrow \overline z = 3 - 2i \Rightarrow \overline z\) có phần thực là 3 và phần ảo là -2.
Câu 315: Gọi \(z_1,z_2\) là các nghiệm phức của phương trình \(z^2+4z+5=0\). Đặt \({\rm{w}} = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}.\) Tìm w. A. \({\rm{w}} = {2^{51}}\) B. \({\rm{w}} = {2^{50}}i\) C. \({\rm{w}} =- {2^{51}}\) D. \({\rm{w}} = -{2^{50}}i\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {\rm{w}} = {(1 + {z_1})^{100}} + {(1 + {z_2})^{100}}\\ = {\left( {{z_1}^2 + 2{z_1} + 1} \right)^{50}} + {\left( {{z_2}^2 + 2{z_2} + 1} \right)^{50}}\\ = {\left( { - 2{z_1} - 4} \right)^{50}} + {\left( { - 2{z_2} - 4} \right)^{50}}\,(Do\,{z_i}^2 + 4{z_i} + 5 = 0)\\ = {2^{50}}{\left( {{z_1} + 2} \right)^{50}} + {2^{50}}{\left( {{z_2} + 2} \right)^{50}}\\ = {2^{50}}\left[ {{{\left( {{z_1}^2 + 4{z_1} + 4} \right)}^{25}} + {{\left( {{z_2}^2 + 4{z_2} + 4} \right)}^{25}}} \right]\\ = {2^{50}}\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^{25}} + {{\left( { - 1} \right)}^{25}}} \right] = - {2^{51}}. \end{array}\)
Câu 316: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn $z + i = 2\overline z - z + 3i $ Khẳng định nào sau đây là đúng về tập hợp tất cả các điểm biểu diễn điểm M. A. Một Elip B. Một đường tròn C. Một đường thẳng D. Một parabol Spoiler: Xem đáp án Gọi \(z = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) Ta có: \(\begin{array}{l} z + i = x + (y + 1)i\\ 2\overline z - z + 3i = 2(x - yi) - (x + yi) + 3i = x + (3 - 3y)i \end{array}\) Theo đề bài ta có: \(\begin{array}{l} 3\sqrt {{x^2} + {{(y + 1)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{(3 - 3y)}^2}} \\ \Leftrightarrow 9({x^2} + {y^2} + 2y + 1) = ({x^2} + 9{y^2} - 18y + 9)\\ \Leftrightarrow 9{x^2} + 9{y^2} + 18y + 9 = {x^2} + 9{y^2} - 18y + 9\\ \Leftrightarrow 8{x^2} + 36y = 0\\ \Leftrightarrow y = - \frac{{2{x^2}}}{9}. \end{array}\) Vậy tập hợp các điểm M là một Parabol.
Câu 317: Cho số phức z thỏa mãn \(2z = i(\overline z + 3).\) Tính môđun của z. A. \(\left| z \right| = \sqrt 5\) B. \(\left| z \right| = \frac{{3\sqrt 5 }}{4}\) C. \(\left| z \right| = 5\) D. \(\left| z \right| = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(z = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) Ta có: \(\begin{array}{l} 2z = i(\overline z + 3)\\ \Leftrightarrow 2(x + yi) = i(x - yi + 3)\\ \Leftrightarrow 2x + 2yi = ix + y + 3i\\ \Leftrightarrow 2x - y + (2y - x)i = 3i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x - y = 0\\ 2y - x = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 2 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy: \(\left| z \right| = \sqrt 5 .\)
Câu 318: Tìm tập hợp các nghiệm phức của phương trình \({z^2} + {\left| z \right|^2} = 0.\) A. Tập hợp mọi số ảo B. \(\left\{ { \pm i;0} \right\}\) C. \(\left\{ { - i;0} \right\}\) D. \(\left\{ { 0} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z=a+bi\) với \(a,b\in \mathbb{R}\) Ta có: \({z^2} + {\left| z \right|^2} = 0 \Leftrightarrow {z^2} + z.\bar z = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 0\\ z = - \bar z \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 0\\ a + bi = - a + bi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 0\\ a = 0 \end{array} \right.\) Vậy tập hợp các nghiệm phức của phương trình là tập hợp mọi số ảo.
Câu 319: Cho số phức $z = x + yi $. Tìm phần ảo của số phức $w = \frac{{x + \left( {1 - y} \right)i}}{{ - y - 1 + xi}} $. A. \(\frac{{ - 2xy}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\) B. \(\frac{{{y^2} - {x^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\) C. \(\frac{{{y^2} + {x^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\) D. \(\frac{{{y^2} + {x^2} + 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = x + yi \Rightarrow \bar z = x - yi \Rightarrow w = \frac{{\bar z + i}}{{iz - 1}} = \frac{{x + \left( {1 - y} \right)i}}{{i\left( {x + yi} \right) - 1}}\) \(\Rightarrow w = \frac{{x + \left( {1 - y} \right)i}}{{ - y - 1 + xi}} = \frac{{\left[ {x + \left( {1 - y} \right)i} \right]\left( {y + 1 + xi} \right)}}{{{{\left( {xi} \right)}^2} - {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\) \(= \frac{{x\left( {y + 1} \right) - x\left( {1 - y} \right) + \left( {{x^2} - {y^2} + 1} \right)i}}{{ - {x^2} - {{\left( {y + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{2xy}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{y^2} - {x^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}i\)
Câu 320: Tính \(a + b\) biết rằng a, b là các số thực thỏa mãn \(a + bi = {\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^{2017}}.\) A. \(a + b = \left( {1 + \sqrt 3 } \right){.8^{672}}\) B. \(a + b = \left( {1 + \sqrt 3 } \right){.8^{671}}\) C. \(a + b = \left( {\sqrt 3 - 1} \right){.8^{672}}\) D. \(a + b = \left( {\sqrt 3 - 1} \right){.8^{671}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^3} = - 8\)và \(2017 = 3.672 + 1\) suy ra: \(a + b = \left( {1 + \sqrt 3 } \right){.8^{672}}.\)
Câu 321: Cho số phức z = a + bi khác 0 \((a,b\in \mathbb{R})\). Tìm phần ảo của số phức \(z^{-1}\). A. \(\frac{{ - b}}{{{a^2} + {b^2}}}\) B. \(\frac{{a - b}}{{{a^2} + {b^2}}}\) C. b D. \(\frac{a}{{{a^2} + {b^2}}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({z^{ - 1}} = \frac{1}{{a + bi}} = \frac{{a - bi}}{{\left( {a + bi} \right) \left( {a - bi} \right)}} = \frac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}\) Do đó phần ảo của số phức: \(z^{-1}\) là \(\frac{{ - b}}{{{a^2} + {b^2}}}.\)
