Câu 322: Cho hai số phức \(z=-2+5i\) và \(z'=a+bi(a,b\in \mathbb{R})\). Xác định a,b để z + z' là một số thuần ảo. A. \(a=2;b=-5\) B. \(a\neq 2;b=-5\) C. \(a\neq 2;b\neq -5\) D. \(a= 2;b\neq -5\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(z + z' = \left( { - 2 + a} \right) + \left( {5 + b} \right)i\) để z + z' là một số thuần ảo thì: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a - 2 = 0}\\ {5 + b \ne 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 2}\\ {b \ne - 5} \end{array}} \right.} \right.\)
Câu 323: Cho số phức \(z = 1 - 3i.\) Tính môđun của số phức \(w = \overline z + {z^2}.\) A. \(\left| w \right| = \sqrt {202}\) B. \(\left| w \right| = \sqrt {130}\) C. \(\left| w \right| = \sqrt {58}\) D. \(\left| w \right| = 7\) Spoiler: Xem đáp án \(\overline z = 1 + 3i \Rightarrow w = \left( {1 + 3i} \right) + {\left( {1 - 3i} \right)^2} = - 7 - 3i\) \(\Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {58} .\)
Câu 324: Cho số phức z thỏa mãn $\left( {3 + i} \right)\left| z \right| = \frac{{ - 2 + 14i}}{z} + 1 - 3i$ Tính môđun của số phức z. Chọn giá trị gần đúng nhất trong các giá trị sau. A. 1,2 B. 2,3 C. 3,7 D. 4,1 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left( {3 + i} \right)\left| z \right| = \frac{{ - 2 + 14i}}{z} + 1 - 3i \Leftrightarrow \left( {3\left| z \right| - 1} \right) + \left( {\left| z \right| + 3} \right)i = \frac{{ - 2 + 14i}}{z}\) Khi đó mođun của số phức bên trái biểu thức là \(\sqrt {{{\left( {3\left| z \right| - 1} \right)}^2} + {{\left( {\left| z \right| + 3} \right)}^2}} = \sqrt {10\left( {{{\left| z \right|}^2} + 1} \right)}\) Mođun của số phức bên phải \(\left| {\frac{{ - 2 + 14i}}{z}} \right| = \frac{{\left| { - 2 + 14i} \right|}}{{\left| z \right|}} = \frac{{10\sqrt 2 }}{{\left| z \right|}}\) Do đó \(10\left( {{{\left| z \right|}^2} + 1} \right) = \frac{{200}}{{{{\left| z \right|}^2}}}\). Đặt \(a = \left| z \right| \Rightarrow {a^2} + 1 = \frac{{20}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow {a^2} = 4 \Rightarrow a = 2.\)
Câu 325: Tìm số phức \(\overline{z}\) biết số phức z thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l} \left| {\frac{{z - 1}}{{z - i}}} \right| = 1\\ \left| {\frac{{z - 3i}}{{z + i}}} \right| = 1 \end{array} \right.\) A. \(\overline{z}=1+i\) B. \(\overline{z}=1-i\) C. \(\overline{z}=-1-i\) D. \(\overline{z}=-1+i\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z=a+bi\) với \(a,b\in \mathbb{R}\)Ta có: \(\left| {\frac{{z - 1}}{{z - i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {z - 1} \right| = \left| {z - i} \right| \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} \Leftrightarrow a - b = 0\) .\(\left| {\frac{{z - 3i}}{{z + i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} \Leftrightarrow b = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 1 \end{array} \right.\) Vậy \(\bar z = 1 - i\)
Câu 326: Tính S là tổng các nghiệm phức của phương trình \({z^3} - 8 = 0.\) A. \(S=0\) B. \(S=i\) C. \(S=2i\sqrt3\) D. \(S=1\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {z^3} - 8 = 0 \Leftrightarrow (z - 2)({z^2} + 2z + 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 2\\ {z^2} + 2z + 4 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 2\\ z = - 1 + i\sqrt 3 \\ z = - 1 - i\sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow S = 0. \end{array}\)
Câu 327: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn $\left| {z - 2i} \right| = 3$. A. Là đường tròn tâm I(0;-2) bán kính R = 3 B. Là đường tròn tâm I(0;2) bán kính \(R=\sqrt{3}\) C. Là đường tròn tâm I(0;2) bán kính R = 3 D. Là đường tròn tâm I(2;0) bán kính R = 3 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi\,(a,b \in \mathbb{R})\) Ta có: \(\begin{array}{l} \left| {z - 2i} \right| = 3 \Rightarrow \left| {a + (b - 2)i} \right| = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{(b - 2)}^2}} = 3\\ \Leftrightarrow {a^2} + {(b - 2)^2} = 9 \end{array}\) Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm \(I(0;2)\) bán kính \(R=3.\)
Câu 328: Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = \frac{{2 - i}}{{1 + 2i}}.\) A. \(\bar z = 1\) B. \(\bar z = i\) C. \(\bar z =- i\) D. \(\bar z =1+ i\) Spoiler: Xem đáp án \(z = \frac{{2 - i}}{{1 + 2i}} = - i \Rightarrow \overline z = i.\)
Câu 329: Cho hai số phức \({z_1} = 1 - 2i,{\rm{ }}{z_2} = 3 + i.\) Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(z=z_1z_2\) A. Số phức z có phần thực là 3, phần ảo là-5i B. Số phức z có phần thực là 5, phần ảo là -5i C. Số phức z có phần thực là 5, phần ảo là -5i D. Số phức z có phần thực là 5, phần ảo là -5i Spoiler: Xem đáp án \({z_1}{z_2} = \left( {1 - 2i} \right)\left( {3 + i} \right) = 5 - 5i\)
Câu 330: Cho số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in\mathbb{R} } \right)\) thỏa mãn $\left( {1 + 2i} \right)z + 2\bar z = 14 + 5i $. Tính $P = {a^3} + b$. A. 1 B. 3 C. -1 D. -2 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi\,\left( {a,b \in } \right) \Rightarrow \bar z = a - bi\) ta có: \(\left( {1 + 2i} \right)z + 2\bar z = 14 + 5i \Leftrightarrow \left( {1 + 2i} \right)\left( {a + bi} \right) + 2\left( {a - bi} \right) = 14 + 5i\) \(\Leftrightarrow a + bi + 2ai - 2b + 2a - 2bi = 14 + 5i \Leftrightarrow 3a - 2b - 14 + \left( {2a - b - 5} \right)i = 0\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 2b = 14\\ 2a - b = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 14\\ b = - 13 \end{array} \right.\) Khi đó \(P = {a^3} + b = 16 - 13 = 3\)
Câu 331: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 2i} \right| = \left| {\bar z + 2} \right|.\) A. Là đường tròn tâm I(2;-2) bán kính R = 2 B. Là đường thẳng có phương trình x - y = 0 C. Là đường thẳng có phương trình x + y - 4 = 0 D. Là đường thẳng có phương trình x + y = 0 Spoiler: Xem đáp án Gọi \(z = x + yi\left( {x,y \in } \right) \Rightarrow \bar z = x - yi\) Ta có: \(\left| {z - 2i} \right| = \left| {\bar z + 2} \right| \Leftrightarrow \left| {x + yi - 2i} \right| = \left| {x - yi + 2} \right|\) \(\Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} \Leftrightarrow x + y = 0.\)
