Câu 342: Cho các số phức z thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right|.\) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(w = \left( {2 - i} \right)z + 1\) trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó. A. \(- x + 7y + 9 = 0\) B. \(x + 7y - 9 = 0\) C. \(x + 7y + 9 = 0\) D. \(x - 7y + 9 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(z = a + bi\left( {a,b \in\mathbb{R} } \right)\). Khi đó: \(\left| {z - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right| \Rightarrow \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {a - 1} \right) + \left( {b + 2} \right)i} \right|\) \(\Rightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2}\) \(\Rightarrow a = 3b + 2\) \(w = \left( {2 - i} \right)\left( {a + bi} \right) + 1 \Rightarrow w = 2a + b + 1 + \left( {2b - a} \right)i\) Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w có dạng \(M\left( {2a + b + 1;2b - a} \right)\) hay \(M\left( {7b + 5; - b - 2} \right).\) Do đề bài đã cho biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức M là một đường thẳng nên ta chỉ cần tìm tọa độ 2 điểm M là có thể viết phương trình đường thẳng đó. Với \({b_1} = 0 \Rightarrow {M_1}(5; - 2);\,{{\bf{b}}_2} = - 1 \Rightarrow {M_2}( - 2; - 1)\) Vậy phương trình đường thẳng biểu diễn số phức w là: \((x + 2) + 7(x + 1) = 0 \Leftrightarrow x + 7y + 9 = 0.\)
Câu 343: Cho số phức \(z = - 3 - 4i.\) Tìm mô đun của số phức \(w = iz + \frac{{25}}{z}.\) A. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 2\) B. \(\left| {\rm{w}} \right| = 2\) C. \(\left| {\rm{w}} \right| =5\) D. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 5\) Spoiler: Xem đáp án \(w = i\left( { - 3 - 4i} \right) + \frac{{25}}{{ - 3 - 4i}} = - 3i + 4 - \frac{{25\left( {3 - 4i} \right)}}{{9 + 16}} = 1 + i \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt 2\)
Câu 344: Tìm phương trình đường thẳng là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\bar z + 2i} \right|\) trên mặt phẳng phức. A. \(4x - 2y + 1 = 0\) B. \(4x - 6y - 1 = 0\) C. \(4x +2y - 1 = 0\) D. \(4x - 2y - 1 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Khi đó: \(\begin{array}{l} \left| {a - 2 + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \left| {a + \left( {2 - b} \right)i} \right|\\ \Rightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {a^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} \Rightarrow 4a - 2b - 1 = 0 \end{array}\)
Câu 345: Cho số phức \(z = 2 - 3i.\) Tìm phần ảo của số phức \(w = \left( {1 + i} \right)z - \left( {2 - i} \right)\left| {\bar z} \right|.\) A. -9i B. -9 C. -5 D. -5i Spoiler: Xem đáp án \(w = \left( {1 + i} \right)\left( {2 - 3i} \right) - \left( {2 - i} \right)\left( {2 + 3i} \right) = - 2 - 5i\) Vậy phần ảo của số phức là -5.
Câu 346: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn biết phần thực của số phức $\frac{{z - 1}}{{z - i}}$ bằng 0. Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn đó. A. \(I\left( { - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right),R = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) B. \(I\left( { - \frac{1}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right),R = \frac{1}{2}\) C. \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right),R = \frac{1}{2}\) D. \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right),R = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(z = a + bi\) \(\frac{{z - 1}}{{z - i}} = \frac{{a - 1 + bi}}{{a + \left( {b - 1} \right)i}} = \frac{{\left( {a - 1 + bi} \right)\left( {a - \left( {b - 1} \right)i} \right)}}{{{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - b + ai}}{{{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}}\) Ta có phần thực bằng 0 nên: \(\frac{{{a^2} + {b^2} - b}}{{{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - a - b = 0\) Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right);R = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
Câu 347: Tìm số phức z thỏa \(z\left( {1 - 2i} \right) = \left( {3 + 4i} \right){\left( {2 - i} \right)^2}.\) A. \(z=25\) B. \(z=5i\) C. \(z=25+50i\) D. \(z=5+10i\) Spoiler: Xem đáp án \(z\left( {1 - 2i} \right) = \left( {3 + 4i} \right){\left( {2 - i} \right)^2} \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {3 + 4i} \right)\left( {4 - 4i + {i^2}} \right)}}{{1 - 2i}}\) \(\Leftrightarrow z = \frac{{\left( {{3^2} - 16{i^2}} \right)\left( {1 + 2i} \right)}}{{{1^2} + {2^2}}} \Leftrightarrow z = 5 + 10i\)
Câu 348: Xét số phức \(z\) thoả mãn \((1 + 2i)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i.\)Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(\frac{3}{2} < z < 2.\) B. \(\left| z \right| > 2.\) C. \(\left| z \right| < \frac{1}{2}\,.\) D. \(\frac{1}{2} < \left| z \right| < \frac{3}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \($z = a + bi\,(a,b \in \mathbb{R})\) và \(c = \left| z \right|,\) thay vào đẳng thức đã cho: \(\begin{array}{l} \left( {1 + 2i} \right)c = \frac{{\sqrt {10} }}{{a + bi}} - 2 + i = \frac{{\sqrt {10} (a - bi)}}{{{c^2}}} - 2 + i\\ \Leftrightarrow c - \frac{{a\sqrt {10} }}{{{c^2}}} + 2 + i\left( {2c + \frac{{b\sqrt {10} }}{{{c^2}}} - 1} \right) = 0 \end{array}\) Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} c - \frac{{a\sqrt {10} }}{{{c^2}}} + 2 = 0\\ 2c + \frac{{b\sqrt {10} }}{{{c^2}}} - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c + 2 = \frac{{a\sqrt {10} }}{{{c^2}}}\\ - 2c + 1 = \frac{{b\sqrt {10} }}{{{c^2}}} \end{array} \right.\) Nên: \({\left( {c + 2} \right)^2} + {(2c - 1)^2} = \frac{{10({a^2} + {b^2})}}{{{c^4}}} = \frac{{10}}{{{c^2}}}\) Giải ra: \(c=\pm1\) mà \(c > 0 \Rightarrow c = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1.\) Do đó:\(\frac{1}{2} < \left| z \right| < \frac{3}{2}.\)
Câu 349: Cho số phức \(z = a + bi(a,b \in \mathbb{R})\) thoả mãn \((1 + i)z + 2\overline z = 3 + 2i.\) Tính \(P=a+b.\) A. \(P=\frac{1}{2}\) B. \(P=1\) C. \(P=-1\) D. \(P=-\frac{1}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \(\left( {1 + i} \right)z + 2\bar z = 3 + 2i.\) Đặt: \(z = a + bi\,(a,b \in \mathbb{R})\) \(\Rightarrow \left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) + 2\left( {a - bi} \right) = 3 + 2i\) \(\Leftrightarrow a + bi + ai - b + 2a - 2bi - 3 - 2i = 0\) \(\Leftrightarrow 3a - b - 3 + i\left( {a - b - 2} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - b - 2 = 0\\ 3a - b - 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{2}\\ b = - \frac{3}{2} \end{array} \right. \Rightarrow a + b = - 1\)
Câu 350: Kí hiệu \(z_0\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \(4{z^2} - 16z + 17 = 0\). Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức ${z_0} = \frac{{i + 4}}{2}$ A. \({M_1}\left( {\frac{1}{2};2} \right).\) B. \({M_1}\left( {-\frac{1}{2};2} \right).\) C. \({M_1}\left( {-\frac{1}{4};1} \right).\) D. \({M_1}\left( {\frac{1}{4};1} \right).\) Spoiler: Xem đáp án \(4{z^2} - 16z + 17 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = \frac{{16 + 4i}}{8} = \frac{{i + 4}}{2}\\ z = \frac{{16 - 4i}}{8} = \frac{{ - i + 4}}{2} \end{array} \right.\) Do đó: \({z_0} = \frac{{i + 4}}{2} \Rightarrow i{z_0} = \frac{{ - 1 + 4i}}{2} = - \frac{1}{2} + 2i\)
Câu 351: Tính môđun của số phức thoả mãn \(z(2 - i) + 13i = 1.\) A. \(\left| z \right| = \sqrt {34} .\) B. \(\left| z \right| = 34\) C. \(\left| z \right| = \frac{{5\sqrt {34} }}{3}\) D. \(\left| z \right| = \frac{{\sqrt {34} }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \(z\left( {2 - i} \right) + 13i = 1 \Leftrightarrow z = \frac{{1 - 13i}}{{2 - i}} \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {1 - 13i} \right)\left( {2 + i} \right)}}{{\left( {2 - i} \right)\left( {2 + i} \right)}}\) \(\Rightarrow z = \frac{{2 + i - 26i + 13}}{{4 + i}} = \frac{{15 - 25i}}{5} = 3 - 5i\) \(\Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {5^2}} = \sqrt {34}\)
