Câu 352: Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = i(3i + 1).\) A. \(\overline z = 3 - i\) B. \(\overline z = -3 + i\) C. \(\overline z = 3 + i\) D. \(\overline z = -3 - i\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = i\left( {3i + 1} \right) = i - 3 \Rightarrow \bar z = - 3 - i.\)
Câu 353: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z. A. Phần thực là -4 và phần ảo là 3. B. Phần thực là 3 và phần ảo là -4i. C. Phần thực là 3 và phần ảo là -4. D. Phần thực là -4 và phần ảo là 3i. Spoiler: Xem đáp án Tọa độ \(M(3;-4)\) nên số phức sẽ có phần thực là 3, phần ảo là -4.
Câu 354: Cho số phức z thỏa \(\left| z \right| = 3\). Biết rằng tập hợp biểu diễn số phức \(w = \bar z + i\) trên mặt phẳng phức là một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn đó. A. \(I\left( {0;1} \right)\) B. \(I\left( {0;-1} \right)\) C. \(I\left( {-1;0} \right)\) D. \(I\left( {1;0} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(w = x + yi,\left( {x,y \in\mathbb{R} } \right)\) suy ra \(\bar z = x + \left( {y - 1} \right)i \Rightarrow z = x - \left( {y - 1} \right)i\). Theo đề suy ra: \(\left| {x - \left( {y - 1} \right)i} \right| = 3 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9.\) Vậy tập số phức cần tìm nằm trên đường tròn có tâm \(I(0;1).\)
Câu 355: Tìm số phức \(\bar z\) biết số phức z thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l} \left| {\frac{{z - 1}}{{z - i}}} \right| = 1\\ \left| {\frac{{z - 3i}}{{z + i}}} \right| = 1 \end{array} \right.\) A. \(\bar z = 1 + i\) B. \(\bar z = 1 - i\) C. \(\bar z = -1 - i\) D. \(\bar z =- 1 + i\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z=a+bi\) với \(a,b\in\mathbb{R}\). Ta có: \(\begin{array}{l} \left| {\frac{{z - 1}}{{z - i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {z - 1} \right| = \left| {z - i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} \Leftrightarrow a - b = 0. \end{array}\) \(\left| {\frac{{z - 3i}}{{z + i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} \Leftrightarrow b = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 1 \end{array} \right.\). Vậy: \(\bar z = 1 - i.\)
Câu 356: Cho số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường tròn \(I\left( {0;0} \right),R = 5\). Tính môđun của số phức z. A. \(\left| z \right| = 3\) B. \(\left| z \right| = 5\) C. \(\left| z \right| = 2\) D. \(\left| z \right| = 25\) Spoiler: Xem đáp án Đường tròn (C) có tâm và bán kính lần lượt là \(I\left( {0;0} \right),R = 5\). Gọi P là điểm biểu diễn số phức z thì P thuộc (C) suy ra OP=5. Nên: \(\left| z \right| = 5.\)
Câu 357: Cho hai số phức \(z = a + bi\) và \(z' = a' + b'i\). Tìm mối liên hệ a,b,a’,b’ để $z.z'$ là một số thực. A. \(aa' + bb' = 0\) B. \(aa' - bb' = 0\) C. \(ab' + a'b = 0\) D. \(ab' - a'b = 0\) Spoiler: Xem đáp án \(z.z' = \left( {a + bi} \right)\left( {a' + b'i} \right) = aa' - bb' + \left( {ab' + a'b} \right)i.\) z.z’ là số thực khi \(ab' + a'b = 0.\)
Câu 358: Tìm số phức z thỏa \((1 + 2i)z = 3z - i.\) A. \(z = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}i\) B. \(z = 1+3i\) C. \(z = \frac{1}{2}i\) D. \(z = 2- \frac{1}{2}i\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \left( {1 + 2i} \right)z = 3z - i \Leftrightarrow \left( {1 + 2i - 3} \right)z = - i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{ - i}}{{ - 2 + 2i}} = \frac{1}{2}.\frac{{ - i}}{{ - 1 + i}} = \frac{1}{2}.\frac{{ - i\left( { - i - 1} \right)}}{2} = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}i \end{array}\)
Câu 359: Xét các kết quả sau: \(\left( 1 \right){i^3} = i\) \(\left( 2 \right)\,\,{i^4} = i\) \(\left( 3 \right)\,{(1 + i)^3} = - 2 + 2i\) Trong ba kết quả trên, kết quả nào sai? A. Chỉ (1) sai B. Chỉ (2) sai C. Chỉ (3) sai D. Chỉ (1) và (2) sai Spoiler: Xem đáp án (1) Và (2) sai vì: \({i^3} = {i^2}.i = - i\) và \({i^4} = {\left( {{i^2}} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} = 1.\) (3) đúng vì ta có: \({\left( {1 + i} \right)^3} = 1 + 3i + 3{i^2} + {i^3} = - 2 + 2i.\)
Câu 360: Biết số phức \(z_1=1+i\) và \(z_2\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + bz + c = 0.\) Tìm môdun của số phức \(w = \left( {{{\bar z}_1} - 2i + 1} \right)\left( {{{\bar z}_2} - 2i + 1} \right).\) A. \(\left| w \right| = \sqrt {63}\) B. \(\left| w \right| = \sqrt {65}\) C. \(\left| w \right| =8\) D. \(\left| w \right| = 1\) Spoiler: Xem đáp án Do \(z_1=1+i\) là nghiệm của phương trình \({z^2} + bz + c = 0.\) Suy ra: \({(1 + i)^2} + b(1 + i) + c = 0 \Leftrightarrow b + c + i(b + 2) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = - 2\\ c = 2 \end{array} \right.\) \(\Rightarrow {z_2} = 1 - i.\) \(\begin{array}{l} w = \left( {{{\bar z}_1} - 2i + 1} \right)\left( {{{\bar z}_2} - 2i + 1} \right)\\ = (1 - i - 2i + 1)(1 + i - 2i + 1)\\ = (2 - 3i)(2 - i) = 1 - 8i\\ \Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {65} . \end{array}\)
Câu 361: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \(2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right|.\) A. Đường tròn tâm I(0;1), bán kính R=1. B. Đường tròn tâm \(I\left( {\sqrt 3 ;0} \right),\) bán kính \(R=\sqrt3\). C. Parapol \(y = \frac{{{x^2}}}{4}.\) D. Parapol \(x = \frac{{{y^2}}}{4}.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi\,(x,y \in\mathbb{R} ),\) M(x,y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. Ta có: \(2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right| \Leftrightarrow 2\left| {2x + (y - 1)i} \right| = 2\left| {\left( {y + 1} \right)i} \right|\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{(y + 1)}^2}} \\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y + 1 = {y^2} + 2y + 1\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4y \end{array}\)
