Câu 362: Cho số phức z, biết \(z - \left( {2 + 3i} \right)\bar z = 1 - 9i\). Tìm phần ảo của số phức z. A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi\,\,\,(a,b \in \mathbb{R}),\) ta có: \(\begin{array}{l} z - \left( {2 + 3i} \right)\bar z = 1 - 9i \Leftrightarrow (a + bi) - (2 + 3i)(a - bi) = 1 - 9i\\ \Leftrightarrow a + bi - 2a + 2bi - 3ai - 3b = 1 - 9i\\ \Leftrightarrow - a - 3b - 1 + i(3b - 3a + 9) = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a - 3b - 1 = 0\\ (3b - 3a + 9) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = - 1 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy phần ảo của số phức là -1.
Câu 363: Gọi P là điểm biểu diễn của số phức \(a+bi\) trong mặt phẳng phức. Cho các mệnh đề sau : (1) Môđun của \(a+bi\) là bình phương độ dài OP. (2) Nếu P là biểu diễn của số \(3+4i\) thì OP=7. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Chỉ có (1) đúng. B. Chỉ có (2) đúng. C. (1), (2) đều đúng. D. (1), (2) đều sai. Spoiler: Xem đáp án Sửa lại như sau: (1) Môđun của \(a+bi\) là khoảng cách OP (2) Nếu P là biểu diễn của số \(3+4i\) thì khoảng cách từ O đến P bằng \(\left| {3 + 4i} \right| = 5.\)
Câu 364: Biết \(M\left( {2; - 1} \right),N\left( {3;2} \right)\) lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức \({z_1},{z_2}\) trên mặt phẳng phức. Tính môđun của số phức \(\omega = z_1^2 + {z_2}.\) A. \(\left| \omega \right| = \sqrt {10}\) B. \(\left| \omega \right| = \sqrt {68}\) C. \(\left| \omega \right| =2 \sqrt {10}\) D. \(\left| \omega \right| =4 \sqrt {2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z_1^2 + {z_2} = {(2 - i)^2} + 3 + 2i = 4 - 4i - 1 + 3 + 2i = 6 - 2i\) Vậy: \(\left| \omega \right| = 2\sqrt {10} .\)
Câu 365: Cho số phức \(z = 2 - 7i\). Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức \(\bar z.\) A. -5 B. 2 C. -7 D. 9 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = 2 - 7i \Rightarrow \left| {\mathop z\limits^ - } \right| = 2 + 7i.\) Vậy tổng phần thực và phần ảo là 9.
Câu 366: Tìm số phức z thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l} \left| {{z^2} + \overline z } \right| = 2\\ \left| z \right| = 2 \end{array} \right..\) A. \(z = 3;z = 1 \pm \sqrt {3i}\) B. \(z = - 2;z = 1 \pm \sqrt {3i}\) C. \(z = - 1;z = 1 \pm \sqrt {3i}\) D. \(z = - 2;z = 2 \pm \sqrt {3i}\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(z = x + yi;\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) \(\begin{array}{l} \left| z \right| = 2 \Rightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 4\\ \left| {{z^2} + \overline z } \right| = 2 \Rightarrow \left( {{x^2} - {y^2} + x} \right) + {\left( {2xy - y} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} + \left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 6x{y^2} + 2{x^3} = 4\\ \Leftrightarrow {4^2} + 4 - 6x\left( {4 - {x^2}} \right) + 2{x^3} = 4\\ \Leftrightarrow 8{x^3} - 24x + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \to y = 1 \pm \sqrt 3 \\ x = - 2 \to y = 0 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy \(z = - 2;z = 1 \pm \sqrt {3i}\)
Câu 367: Trên mặt phẳng phức tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: \(\left| {z - 1 + i} \right| = 1\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng: \(x + y = 0\) B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\) C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\) D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\) Spoiler: Xem đáp án Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: \(\left| {z - 1 + i} \right| = 1\) Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in {\rm{R}}} \right)\) điểm biểu diễn M(x;y) trên mặt phẳng phức, ta có: \(\left| {z - 1 + i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {x - 1 + \left( {y + 1} \right)i} \right| = 1 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\) Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;0), bán kính R = 1
Câu 368: Cho các số phức z thỏa mãn phần thực thuộc [0;3] và phần ảo thuộc đoạn [-2;4]. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z. A. Phần mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng x=3 và x=0 B. Phần mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng x=-2 và y=4 C. Miền ngoài của hình chữ nhật có bốn đỉnh là giao điểm của các đường thẳng x=0, x=3, y=-2, y=4 (kể cả biên) D. Miền trong của hình chữ nhật có bốn đỉnh là giao điểm của các đường thẳng x=0, x=3, y=-2, y=4 (kể cả biên) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(z = x + yi,z,y \in \mathbb{R}.\) Từ giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l} 0 \le x \le 3\\ - 2 \le y \le 4 \end{array} \right.\) nên suy ra tập hợp rất cả các điểm biểu diễn số phức z là miền trong của hình chữ nhật có bốn đỉnh là giao của bốn đường thẳng \(x = 0,x = 3,y = - 2,y - 4.\)
Câu 369: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(z - 2\overline z = 3 + 4i\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. z có phần thực là -3 B. \(\overline z + \frac{4}{3}i\) có môđun \(\frac{{\sqrt {97} }}{3}\) C. z có phần ảo là \(\frac{4}{3}\) D. z có môđun \(\frac{{\sqrt {97} }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right) \Rightarrow \overline z = x - yi \Rightarrow - 2\overline z = - 2x + 2yi\) Khi đó ta có: \(x + yi - 2x + 2yi = 3 + 4i \Leftrightarrow - x + 3yi = 3 + 4i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x = 3\\ 3y = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 3\\ y = \frac{4}{3} \end{array} \right.\) Vậy \(z = - 3 + \frac{4}{3}i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{97}}{9}} = \frac{{\sqrt {97} }}{3}\)
Câu 370: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức. Số phức -z được biểu diễn bởi điểm nào sau đây? A. Điểm M’ đối xứng với M qua gốc tọa độ O B. Điểm M’ đối xứng với M qua Oy C. Điểm M’ đối xứng với M qua Ox D. Không xác định được Spoiler: Xem đáp án Số phức -z được biểu diễn bởi điểm M’(-a;-b) đối xứng với M qua O.
Câu 371: Xác định phần thực, phần ảo của số phức thỏa \(z = \left( {1 - 2i} \right)\left( {4 - 3i} \right) - 2 + 8i.\) A. Số phức z có phần thực: -4, phần ảo: -3. B. Số phức z có phần thực: 4, phần ảo: 3. C. Số phức z có phần thực: -3, phần ảo: -4. D. Số phức z có phần thực: 3, phần ảo: 4. Spoiler: Xem đáp án \(z = \left( {1 - 2i} \right)\left( {4 - 3i} \right) - 2 + 8i = - 4 - 3i\). Phần thực: -4, phần ảo: -3
