Câu 372: Gọi $z_1, z_2, z_3, z_4$ là bốn nghiệm của phương trình ${z^4} + \left( {4 - m} \right){z^2} - 4m = 0$ trên tập số phức. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right| = 6$. A. \(m=0\) B. \(m=\pm2\) C. \(m=\pm3\) D. \(m=\pm1\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {z^4} + \left( {4 - m} \right){z^2} - 4m = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 4} \right)\left( {{z^2} - m} \right) = 0(*) \end{array}\) Với \(m\geq 0\): \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {z_1} = 2i\\ {z_2} = - 2i\\ {z_3} = \sqrt m \\ {z_4} = - \sqrt m \end{array} \right.\) Với m<0: \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {z_1} = 2i\\ {z_2} = - 2i\\ {z_3} = i\sqrt { - m} \\ {z_4} = - i\sqrt { - m} \end{array} \right.\) Khi đó:\(\left\{ \begin{array}{l} \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right| = 6\\ m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ 4 + 2\sqrt { - m} = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 1\) Hoặc: \(\left\{ \begin{array}{l} \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right| = 6\\ m \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ 4 + 2\sqrt m = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\)
Câu 373: Cho số phức z thỏa \(\frac{{5(\overline z + i)}}{{z + i}} = 2 - i\). Tìm số phức \(\omega = 1 + z + {z^2}.\) A. \(\omega = - 2 - 3i\) B. \(\omega = 2 + 3i\) C. \(\omega = 2 - 3i\) D. \(\omega = - 2 + 3i\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi\,\,\,(a,b \in \mathbb{R})\) \(\begin{array}{l} \frac{{5(\overline z + i)}}{{z + i}} = 2 - i \Rightarrow \frac{{5(a - bi + i)}}{{a + bi + 1}} = 2 - i\\ \Rightarrow 5(a - bi + i) = \left( {2 - i} \right)\left( {a + bi + 1} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5a = 2(a + 1) + b\\ - 5b + 5 = 2b - (a + 1) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - b = 2\\ a - 7b = - 6 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 1 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy ta có \(z = 1 + i \Rightarrow {z^2} = 2i \Rightarrow \omega = 1 + (1 + i) + 2i = 2 + 3i\)
Câu 374: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp biểu diễn của số phức z thỏa mãn $\left| {z - 2 + 3i} \right| = 7$. A. Đường tròn tâm I(2;-3), bán kính R=7. B. Hình tròn tâm I(2;-3), bán kính R=7 (kể cả biên). C. Đường tròn tâm I(-2;3), bán kính R=3. D. Hình tròn tâm I(-2;3), bán kính R=3. Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(z = a + bi\,\,\,(a,b \in \mathbb{R})\) \(\begin{array}{l} \left| {z - 2 + 3i} \right| = 7. \Rightarrow \left| {a + bi - 2 + 3i} \right| = 7\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{(b + 3)}^2}} = 7\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {(b + 3)^2} = 49 \end{array}\) Vậy tập hợp các điểm biểu diễn sô phức z là đường tròn có tâm I(2;-3), bán kính bằng 7.
Câu 375: Tìm tập nghiệm S của của phương trình ${z^3} - 27 = 0 $ trên tập số phức. A. \(S = \left\{ 3 \right\}\) B. \(S = \left\{ {\frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 i}}{2};\frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 i}}{2}} \right\}\) C. \(S = \left\{ 3;{\frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 i}}{2};\frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 i}}{2}} \right\}\) D. \(S = \left\{ {\frac{{ 3 + 3\sqrt 3 i}}{2};\frac{{ 3 - 3\sqrt 3 i}}{2}} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {z^3} - 27 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 3} \right)({z^2} + 3z + 9) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 3\\ {z^2} + 3z + 9 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 3\\ z = \frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 i}}{2}\\ z = \frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 i}}{2} \end{array} \right. \end{array}\) Vậy: \(S = \left\{ 3;{\frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 i}}{2};\frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 i}}{2}} \right\}\).
Câu 376: Cho hai số phức \({z_1} = 2 - i\) và \({z_2} = 1 + 3i\). Tìm môđun của số phức \(z = \overline {{z_1}} - \overline {{z_2}} .\) A. \(\left| z \right| = \sqrt {13}\) B. \(\left| z \right| = \sqrt {17}\) C. \(\left| z \right| = 5\) D. \(\left| z \right| = 17\) Spoiler: Xem đáp án \(\overline {{z_1}} = 2 + i\); \(\overline {{z_2}} = 1 - 3i\) \(\Rightarrow z = 1 + 4i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {17}\)
Câu 377: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn \(z + \frac{{2 + 3i}}{{1 - i}} = i + 2.\) A. Phần thực là \(\frac{5}{2}\), phần ảo là \(-\frac{3}{2}i\) B. Phần thực là \(\frac{5}{2}\), phần ảo là \(\frac{3}{2}i\) C. Phần thực là \(\frac{5}{2}\), phần ảo là \(\frac{3}{2}\) D. Phần thực là \(\frac{5}{2}\), phần ảo là \(-\frac{3}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \(z + \frac{{2 + 3i}}{{1 - i}} = i + 2 \Leftrightarrow z = i + 2 - \frac{{2 + 3i}}{{1 - i}} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}i\)
Câu 378: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(\omega = (1 + i\sqrt 2 )z + 2\) biết rằng số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 1} \right| \le 2\). A. Hình tròn tâm \(I(3;\sqrt 3 )\), bán kính R=4. B. Hình tròn tâm \(I(3;3 )\), bán kính R=4. C. Hình tròn tâm \(I(1;\sqrt 3 )\), bán kính R=2. D. Hình tròn tâm \(I(1;1 )\), bán kính R=2. Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi,\,(a,b \in\mathbb{R} )\), \(\omega = x + yi,\,(x,y \in\mathbb{R} )\) Ta có: \(\left| {z - 1} \right| \le 2 \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} \le 4\,(1)\) \(\begin{array}{l} \omega = (1 + i\sqrt 3 )z + 2 \Rightarrow x + yi = (1 + i\sqrt 3 )(a + bi) + 2\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = a - b\sqrt 3 \\ y = \sqrt 3 a + b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 3 = a - 1 + b\sqrt 3 \\ y - \sqrt 3 = \sqrt 3 (a - 1) + b \end{array} \right. \end{array}\) Từ đó ta có: \({(x - 3)^2} + {(y - \sqrt 3 )^2} \le 4\left[ {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} \right] \le 16\) Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(\omega\) là hình tròn có phương trình \({\left( {x - 3} \right)^2} + {(y - \sqrt 3 )^2} \le 16\). Tâm \(I(3;\sqrt 3 )\), bán kính R=4.
Câu 379: Cho số phức z có môđun \(\sqrt {17}\) và phần thực hơn phần ảo 5 đợn vị. Biết z có phần thực nhỏ hơn 2. Tìm môđun của số phức \({\rm{w}} = 2 + z\). A. \(\left| {\rm{w}} \right| = 5\) B. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 5\) C. \(\left| {\rm{w}} \right| = 4\) D. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {15}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(z = a + bi\,(a,b \in \mathbb{R},a < 2)\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 17\\ a - b = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} a = 1\\ b = - 4 \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} a = 4\\ b = - 1 \end{array} \right. \end{array} \right.\) Suy ra: \(z = 1 - 4i\) Vậy: \(\begin{array}{l} {\rm{w}} = 2 + z = 3 - 4i\\ \Rightarrow \left| w \right| = 5 \end{array}\)
Câu 380: Tìm số phức z sao cho \(3z - \overline z = 2(3 - 10i)\). A. \(z = - 3 - 5i\) B. \(z = - 3 + 5i\) C. \(z = 3 - 5i\) D. \(z = 3 + 5i\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} z = x + yi\,(x,y \in\mathbb{R} )\\ \Rightarrow \overline z = x - yi\\ 3z - \overline z = 2(3 - 10i)\\ \Leftrightarrow 3(x + iy) - (x - iy) = 6 - 20i\\ \Leftrightarrow 2x + 4yi = 6 - 20i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x = 6\\ 4y = - 20 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = - 5 \end{array} \right.\\ \Rightarrow z = 3 - 5i \end{array}\)
Câu 381: Cho số phức \(z = a + ai\,(a \in R)\). Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z khi a thay đổi. A. Đường thẳng y=x B. Đường thẳng y=ax C. Đường thẳng y=ax-a D. Đường tròn \({x^2} + {y^2} = {a^2}\) Spoiler: Xem đáp án Số phức đã cho có điểm biểu diễn là M(a;a). Do đó khi a thay đổi thì tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng có phương trình y=x.
