Câu 382: Cho số phức \(z = a + (a - 1)i\,(a \in\mathbb{R} )\). Tìm a để \(\left| z \right| = 1\). A. \(a = \frac{1}{2}\) B. \(a = \frac{2}{3}\) C. \(a =0\) hoặc \(a =1\) D. \(\left| a \right| = 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {{(a - 1)}^2}} = \sqrt {2{a^2} - 2a + 1}\) \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} - 2a + 1} = 1 \Leftrightarrow 2{a^2} - 2a + 1 = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 0\\ a = 1 \end{array} \right.\)
Câu 383: Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = (1 - i)(3 + 2i).\) A. \(\overline z = 1 + i\) B. \(\overline z = 1 - i\) C. \(\overline z = 5- i\) D. \(\overline z = 5+ i\) Spoiler: Xem đáp án \(z = (1 - i)(3 + 2i) = 3 + 2i - 3i - 2{i^2} = 5 - i \Rightarrow \overline z = 5 + i\)
Câu 384: Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có phần biểu diễn là phần gạch chéo trong hình vẽ (kể cả biên) ? A. Số phức z có phần thực thuộc đoạn [-3;-2] trên trục Ox, phần ảo thuộc đoạn [1;3] trên trục Oy. B. Số phức z có phần thực thuộc đoạn [1;3] trên trục Ox, phần ảo thuộc đoạn [-3;-2] trên trục Oy. C. Số phức z có phần thực thuộc đoạn [-3;-2] trên trục Oy, phần ảo thuộc đoạn [1;3] trên trục Ox. D. Số phức z có phần thực thuộc khoảng (-3;-2) trên trục Ox, phần ảo thuộc khoảng (1;3) trên trục Oy. Spoiler: Xem đáp án Ta có số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in\mathbb{R} } \right)\) khi đó điểm \(M(x;y)\) trong hệ tọa độ phẳng vuông góc là điểm biểu diễn số phức z. Vậy khi đó ta thấy khi chiếu xuống trục Ox thì \(- 3 \le x \le - 2\) tức là phần thực của z nằm trong đoạn [-3;-2] , và ta thấy \(1 \le y \le 3\) , khi đó phần ảo của z nằm trong đoạn [1;3].
Câu 385: Cặp số phức nào sau đây không phải là số phức liên hợp của nhau: A. \(x + \overline y\) và \(\overline x + y\) B. \(x\overline y\) và \(\overline x y\) C. \(x - \overline y\) và \(\overline x - y\) D. \(\frac{x}{{\overline y }}\) và \(\frac{{\overline y }}{x}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(x = a + bi;\) \(y = c + di\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\). Khi đó: Với mệnh đề A: \(x + \overline y = a + bi + c - di = a + c + \left( {b - d} \right)i\) , \(\overline x + y = a - bi + c + di = a + c + \left( {d - b} \right)i\) Là hai số phức liên hợp của nhau. Với mệnh đề B: \(x.\overline y = \left( {a + bi} \right)\left( {c - di} \right) = ac - adi + bci + bd\)\(= ac + bd + \left( {bc - ad} \right)i\) \(\overline x .y = \left( {a - bi} \right)\left( {c + di} \right) = ac + bd + \left( {ad - bc} \right)i\) Vậy đây là cặp số phức liên hợp của nhau. Tương tự mệnh đề A thì C là mệnh đề đúng. Vậy D là mệnh đề sai.
Câu 386: Viết số phức \(\frac{1}{{{z^3}}}\) ở dạng \(a + bi\) với \(a,b\in\mathbb{R}\) biết \(z=1+i\). A. \(\frac{1}{{{z^3}}} = \frac{1}{2}i\) B. \(\frac{1}{{{z^3}}} = - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i\) C. \(\frac{1}{{{z^3}}} = - \frac{1}{2}i\) D. \(\frac{1}{{{z^3}}} = i\) Spoiler: Xem đáp án \(\frac{1}{{{{\left( {1 + i} \right)}^3}}} = \frac{1}{{{i^3} + 3{i^2} + 3i + 1}}\)\(= \frac{1}{{ - i - 3 + 3i + 1}} = \frac{1}{{ - 2 + 2i}}\)\(= \frac{{2 + 2i}}{{ - 8}} = - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i\)
Câu 387: Tính P=\(i^{2009}\). A. P=-1 B. P=1 C. P=-i D. P=i Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({i^{2009}} = {i^{2008}}.i\) \(= {\left( {{i^2}} \right)^{1004}}.i = 1.i = i\).
Câu 388: Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau \(\left( {4 - i} \right) + \left( {2 + 3i} \right) - \left( {5 + i} \right)\). A. Số phức trên có phần thực là 1, phần ảo là i. B. Số phức trên có phần thực là 1, phần ảo là -1 C. Số phức trên có phần thực là 1, phần ảo là 1 D. Số phức trên có phần thực là 1, phần ảo là -i Spoiler: Xem đáp án Ta có : \(\left( {4 - i} \right) + \left( {2 + 3i} \right) - \left( {5 + i} \right)\)\(= 1 + i\). Chú ý: Phần ảo không chứa i.
Câu 389: Tìm môđun của số phức \(z = \left( {4 - 7i} \right) + \left( { - 5i + 7} \right)\). A. \(\left| z \right| = \sqrt {265}\) B. \(\left| z \right| = \sqrt {2}\) C. \(\left| z \right| = \sqrt {263}\) D. \(\left| z \right| = \sqrt {5}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} z = \left( {4 - 7i} \right) + \left( { - 5i + 7} \right) = 11 - 12i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{11}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} = \sqrt {265} \end{array}\)
Câu 390: Tìm tập hợp các điểm biểu diển số phức z thỏa mãn \(\left| {(1 + i)z + 1 - 7i} \right| \le \sqrt 2\) trên mặt phẳng phức. A. Đường tròn tâm I(-3;-4), bán kính R=1. B. Hình tròn tâm I(-3;-4), bán kính R=1 (kể cả biên) C. Đường tròn tâm I(3;4), bán kính R=1. D. Hình tròn tâm I(3;4), bán kính R=1 (kể cả biên) Spoiler: Xem đáp án Đặt z =x+yi (a, b ∈ ℝ). Khi đó ta có: \(\left| {(1 + i)(x + yi) + 1 - 7i} \right| = \sqrt 2 \Rightarrow \left| {(x - y + 1) + (x + y - 7)i} \right| \le \sqrt 2\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(x - y + 1)^2} + {(x + y - 7)^2} \le 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x - 8y + 24 \le 0\\ \Leftrightarrow {(x - 3)^2} + {(y - 4)^2} \le 1 \end{array}\) Vậy tập hợp các điểm biểu diển số phức z là hình tròn tâm I(3;4), bán kính R=1 kể cả biên.
Câu 391: Cho các số phức z thỏa mãn $$. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z trên mặt phẳng phức là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó. A. 4x + 6y – 3 = 0 B. 4x – 6y -3 = 0 C. 4x + 6y + 3 = 0 D. 4x – 6y+ 3 = 0 Spoiler: Xem đáp án Giả sử z = a + bi (a,b ∈ℝ). Ta có \(\left| {z + 1 - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {(a + 1) + (b - 1)i} \right| = \left| {(a - 1) + (b + 2)i} \right|\) \(\Leftrightarrow {(a + 1)^2} + {(b - 1)^2} = {(a - 1)^2} + {(b + 2)^2}\) \(\Leftrightarrow 4a - 6b - 3 = 0\) Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 4x – 6y – 3 = 0
