Câu 31: Tính mô đun của số phức \(z = 1 + \sqrt 3 i.\) A. \(\left| z \right| = 2.\) B. \(\left| z \right| = 4.\) C. \(\left| z \right| = 3.\) D. \(\left| z \right| = \sqrt 3 .\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = 1 + \sqrt 3 i \Rightarrow \left| z \right| = 2.\)
Câu 32: Cho hai số phức z, w thỏa mãn \(\left| {z + 2w} \right| = 3,\left| {2z + 3w} \right| = 6\) và \(\left| {z + 4w} \right| = 7\). Tính giá trị của biểu thức \(P = z.\bar w + \bar z.w\). A. \(P = - 28i\) B. \(P = - 28\) C. \(P = - 14\) D. \(P = - 14i\) Spoiler: Xem đáp án Xuất phát từ hai công thức: \({\left| z \right|^2} = z.\bar z\) và \(\overline {a.{z_1} + b.{z_2}} = a.{\bar z_1} + b.{\bar z_2}\) Ta có: \(\left| {z + 2w} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left| {z + 2w} \right|^2} = 9 \Leftrightarrow \left( {z + 2w} \right),\left( {\bar z + 2\bar w} \right) = 9\) \( \Leftrightarrow z.\bar z + 2\left( {z.\bar w + \bar z.w} \right) + 4w.\bar w = 9 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} + 4.{\left| w \right|^2} + 2P = 9\) Tương tự, với \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {2z + 3w} \right| = 6 \Leftrightarrow \left( {2z + 3w} \right)\left( {2\bar z + 3\bar w} \right) = 36 \Leftrightarrow 4.{\left| z \right|^2} + 9.{\left| w \right|^2} + 6P = 36\\\left| {z + 4w} \right| = 7 \Leftrightarrow \left( {z + 4w} \right)\left( {\bar z + 4\bar w} \right) = 49 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} + 16.{\left| w \right|^2} + 4P = 49\end{array} \right.\) Vậy, ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\left| z \right|^2} + 4.{\left| w \right|^2} + 2P = 9\\4.{\left| z \right|^2} + 9.{\left| w \right|^2} + 6P = 36\\{\left| z \right|^2} + 16.{\left| w \right|^2} + 4P = 49\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left| z \right|^2} = 33\\{\left| w \right|^2} = 8\\P = - 28\end{array} \right..\)
Câu 33: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn \(x + 5y + {\left( {2 - i} \right)^2}y = 3 + 4i\). Tính tổng \(T = x + y\). A. \(T = 10\) B. \(T = - 10\) C. \(T = 11\) D. \(T = 17\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}x + 5y + {\left( {2 - i} \right)^2}y = 3 + 4i \Leftrightarrow x + 5y + \left( {3 - 4i} \right)y = 3 + 4i \Leftrightarrow \left( {x + 8y} \right) - 4yi = 3 + 4i\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 8y = 3\\ - 4y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 11\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow T = 10.\end{array}\)
Câu 34: Tìm tập nghiệm S của phương trình \({z^4} + 7{z^2} + 10 = 0.\) A. \(S = \left\{ {\sqrt 2 i;\sqrt 5 i} \right\}\) B. \(S = \left\{ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 ; - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right\}\) C. \(S = \emptyset \) D. \(S = \left\{ { - \sqrt 2 i;\sqrt 2 i; - \sqrt 5 i;\sqrt 5 i} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{z^4} + 7{z^2} + 10 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 2} \right)\left( {{z_2} + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = - 2\\{z^2} = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm \sqrt 2 i\\z = \pm \sqrt 5 i\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = \left\{ { - \sqrt 2 i;\sqrt 2 i; - \sqrt 5 i;\sqrt 5 i} \right\}\end{array}\)
Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn \(\left( {9 + 5i} \right)z + \left( {7 - 2i} \right) = 0\). Tìm số phức liên hợp của z. A. \(\bar z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\) B. \(\bar z = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\) C. \(\bar z = - i\) D. \(\bar z = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\) Spoiler: Xem đáp án \(\left( {9 + 5i} \right)z + \left( {7 - 2i} \right) = 0 \Leftrightarrow z = \frac{{2i - 7}}{{9 + 5i}} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \Rightarrow \bar z = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i.\)
Câu 36: Cho hai số phức \({z_1} = 1 + i\) và \({z_2} = 2 - 3i\). Tìm số phức liên hợp của số phức \(w = {z_1} + {z_2}\) A. \(\bar w = 3 + 2i\) B. \(\bar w = - 1 + 4i\) C. \(\bar w = 1 - 4i\) D. \(\bar w = 3 - 2i\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(w = {z_1} + {z_2} = 1 + i + 2 - 3i = 3 - 2i \Rightarrow \bar w = 3 + 2i.\)
Câu 37: Tính môđun của số phức \(z = 4 + 3i\) A. \(\left| z \right| = 2\) B. \(\left| z \right| = 25\) C. \(\left| z \right| = 4\) D. \(\left| z \right| = 5\) Spoiler: Xem đáp án \(\left| z \right| = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5.\)
Câu 38: Cho số phức z có môđun là 3, biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} \right)z\) là một đường tròn thì có bán kính bao nhiêu? A. \(R = 3\sqrt 2 \) B. \(R = 3\sqrt 5 \) C. \(R = 3\sqrt 3 \) D. \(R = 3\sqrt 7 \) Spoiler: Xem đáp án \({\rm{w}} = x + yi \Rightarrow x + yi = 3 - 2i + \left( {2 - i} \right)z \Leftrightarrow \frac{{x + yi - 3 + 2i}}{{2 - i}} = z\) \( \Rightarrow \frac{{2x + 2yi - 6 + 4i + xi - y - 3i - 2}}{5} = z \Leftrightarrow \frac{{i\left( {x + 2y + 1} \right) + 2x - y - 8}}{5} = z\) \( \Rightarrow {\left( {x + 2y + 1} \right)^2} + {\left( {2x - y - 8} \right)^2} = 25.9 = 5{x^2} + 5{y^2} - 30x + 20y + 65\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5.9 = {x^2} + {y^2} - 6x + 4y + 13 = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\\ \Rightarrow R = 3\sqrt 5 .\end{array}\)
Câu 39: Tập hợp các số phức \({\rm{w}} = \left( {1 + i} \right)z + 1\) với z là số phức thỏa mãn \(\left| {z - 1} \right| \le 1\) là hình tròn. Tính diện tích hình tròn đó. A. \(4\pi \) B. \(2\pi \) C. \(3\pi \) D. \(\pi \) Spoiler: Xem đáp án Đặt \({\rm{w}} = x + yi,\) ta có: \({\rm{w}} = \left( {1 + i} \right)z + 1 \Leftrightarrow {\rm{w}} = \left( {1 + i} \right)\left( {z - 1} \right) + i + 2 \Leftrightarrow w - i - 2 = \left( {z - 1} \right) + i\left( {z - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow \left| {w - i - 2} \right| = \left| {\left( {z - 1} \right) + i\left( {z - 1} \right)} \right| \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2{\left( {z - 1} \right)^2} \le 2 \Rightarrow R = \sqrt 2 \) \( \Rightarrow S = \pi {R^2} = 2\pi .\)
Câu 40: Biết phương trình \({z^2} + az + b = 0\) có 1 nghiệm là z = 1 – i. Môđun của số phức \({\rm{w}} = a + bi\) là? A. \(\sqrt 2 \) B. 2 C. \(2\sqrt 2 \) D. 3 Spoiler: Xem đáp án Thay z=1-i vào phương trình ta có: \({z^2} + az + b = 0 \Leftrightarrow {\left( {1 - i} \right)^2} + a\left( {1 - i} \right) + b = 0 \Leftrightarrow - 2i + a - ai + b = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left| w \right| = 2\sqrt 2 .\)
