Câu 392: Giải phương trình \({z^2} + 2z + 2 = 0\) trên tập số phức ta được hai nghiệm \({z_1},\,{z_2}\). Tính tích \({z_1}.{z_2}\). A. $z_1.z_2=0$ B. $z_1.z_2=1$ C. $z_1.z_2=2$ D. $z_1.z_2=3$ Spoiler: Xem đáp án \({z^2} + 2z + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z_1} = - 1 + i\\ {z_2} = - 1 - i \end{array} \right.\) Vậy \({z_1}.{z_2} = 2\)
Câu 393: Cho số phức z=a – bi với \(a,{\rm{ }}b \in \mathbb{R}\), thỏa mãn \((1 + 3i)z-3+2i= 2+7i\). Tính tổng a+b. A. \(a + b = \frac{{11}}{5}\) B. \(a + b = \frac{{19}}{5}\) C. \(a + b = 1\) D. \(a + b = -1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l} (1 + 3i)z - 3 + 2i = 2 + 7i \Rightarrow (1 + 3i)(a + bi) - 3 + 2i = 2 + 7i\\ \Leftrightarrow a + bi + 3ai - 3b - 3 + 2i - 2 - 7i = 0 \end{array}\) \(\Rightarrow a - 3b - 5 + (3a + b - 5)i = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - 3b - 5 = 0\\ (3a + b - 5) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = - 1 \end{array} \right.\)
Câu 394: Cho số phức z =2+i. Hãy xác định điểm biểu diễn hình học của số phức \(\omega = (1 - i)z.\) A. Điểm M B. Điểm N C. Điểm P D. Điểm Q Spoiler: Xem đáp án \({\rm{w}} = (1 - i)z = (1 - i)(2 + i) = 2 + i - 2i - {i^2} = 3 - i\) Vậy điểm biểu diễn số phức z có toạ độ (3;-1).
Câu 395: Cho số phức z=2–3i. Tìm môđun của số phức \(\omega = 2z + \left( {1 + i} \right)\overline z\). A. \(\left| \omega \right| = 4\) B. \(\left| \omega \right| = 2\sqrt 2\) C. \(\left| \omega \right| = \sqrt {10}\) D. \(\left| \omega \right| = 2\) Spoiler: Xem đáp án \({\rm{w}} = 2z + (1 + i)\overline z = 2(2 - 3i) + (1 + i)(2 + 3i)\) \(= 4 - 6i + 2 + 3i + 2i + 3{i^2} = 4 - 6i + 2 + 3i + 2i - 3 = 3 - i\) \(\Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {9 + 1} = \sqrt {10}\)
Câu 396: Số phức z có điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong hình dưới đây (kể cả biên) ? A. Số phức z có phần thực nhỏ hơn hoặc bằng \(-\frac{1}{2}\), phần ảo nằm trong đoạn [1;2]. B. Số phức z có phần thực nhỏ hơn hoặc bằng \(-\frac{1}{2}\), \(1 \le \left| z \right| \le 2\). C. Số phức z có phần ảo nhỏ hơn hoặc bằng \(-\frac{1}{2}\), \(1 \le \left| z \right| \le 2\). D. Số phức z có phần thực nhỏ hơn hoặc bằng \(-\frac{1}{2}\), phần thực nằm trong đoạn [1;2]. Spoiler: Xem đáp án Ta nhận thấy phần gạch chéo được giới hạn bởi đường thẳng \(y=-\frac{1}{2}\) . Nghĩa là \(y\leq -\frac{1}{2}\). Suy ra phần ảo nhỏ hơn hoặc bằng \(-\frac{1}{2}\) . Còn khoảng gạch chéo ta nhận thấy nó liên quan đến khoảng cách từ tâm O đến điểm biểu diễn. Tức là mô đun của số phức. Vậy rõ ràng \(1 \le \left| z \right| \le 2\).
Câu 397: Cho (H) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \({\left| z \right|^2} = {z^2}\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. (H) gồm cả mặt phẳng. B. (H) là một đường thẳng C. (H) là một điểm D. (H) là hai đường thẳng. Spoiler: Xem đáp án Giả sử số phức \(z = a + bi\) khi đó ta có: \({\left| z \right|^2} = {z^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^2} + 2abi - {b^2}\) hay \(b = ai\) . Khi đó: \(z = a + bi = a + ai.i = a - a = 0\).
Câu 398: Biết $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình \(2{z^2} + \sqrt 3 z + 3 = 0\). Tính \(z_1^2 + z_2^2\). A. \(-\frac{9}{4}\) B. \(\frac{8}{3}\) C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) D. \(\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \(2{z^2} + \sqrt 3 z + 3 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1} = - \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{{\sqrt {21} }}{4}i}\\ {{z_2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{4} - \frac{{\sqrt {21} }}{4}i} \end{array}} \right.\) Vậy: \(z_1^2 + z_2^2 = -\frac{9}{4}\)
Câu 399: Tìm các số thực x,y biết: \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\) A. \(x = \frac{9}{{11}};y = \frac{4}{{11}}\) B. \(x = - 3;y = - \frac{5}{2}\) C. \(x = \frac{{ - 9}}{{11}};y = \frac{{ - 4}}{{11}}\) D. \(x = 3;y = \frac{5}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\) khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - x + 2y = 4x - y - 3}\\ {2x + 3y + 1 = 3x - 2y + 2} \end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x - 3y = 3}\\ {x - 5y = - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{9}{{11}}}\\ {y = \frac{4}{{11}}} \end{array}} \right.\)
Câu 400: Cho số phức \(z=3+6i\) . Tìm phần thực và phần ảo của số phức \({z_1} = 5\overline z\). A. Số phức \(z_1\) có phần thực là 15, phần ảo là \(-30i\) B. Số phức \(z_1\) có phần thực là 15, phần ảo là \(30\) C. Số phức \(z_1\) có phần thực là 15, phần ảo là \(-30\) D. Số phức \(z_1\) có phần thực là 15, phần ảo là \(30i\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({z_1} = 5\overline z = 5\left( {3 - 6i} \right) = 15 - 30i\) Vậy phần thực của là 15 và phần ảo là -30.
Câu 401: Tìm số z phức biết phần thực bằng 12 và môđun của z bằng 13. A. \(z = 5 \pm 12i\) B. \(z = 1 \pm 12i\) C. \(z = 12 \pm 5i\) D. \(z = 12\pm i\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(z = a + bi\,\left( {a,b \in\mathbb{R} } \right)\) ta có: a=12. \(\begin{array}{l} \left| z \right| = 13 \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 13\\ \Rightarrow \sqrt {{{12}^2} + {b^2}} = 13 \Leftrightarrow b = \pm 5 \end{array}\)
