Câu 402: Cho \({z_1} = 1 + i\); \({z_2} = - 1 - i\). Tìm \({z_3} \in C\) sao cho các điểm biểu diển của tạo thành tam giác đều. A. Có hai số phức thỏa yêu cầu bài toán là \({z_3} = \sqrt 3 - \sqrt 3 i\) và \({z_3} = - \sqrt 3 + \sqrt 3 i\). B. Có hai số phức thỏa yêu cầu bài toán là \({z_3} = \sqrt 3 - \sqrt 3 i\) và \({z_3} = - \sqrt 3 - \sqrt 3 i\). C. Có hai số phức thỏa yêu cầu bài toán là \({z_3} = 2-2i\) và \({z_3} = 2+2i\). D. Có hai số phức thỏa yêu cầu bài toán là \({z_3} = 2-2i\) và \({z_3} = -2-2i\). Spoiler: Xem đáp án Áp dụng công thức sau: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z1 trên mặt phẳng phức. N là điểm biểu diễn của số phức z2 trên mặt phẳng phức. Khi đó khoảng cách giữa M và N tính bằng công thức sau: \(MN = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) Gọi \({z_3} = x + yi\), để các điểm \({z_1},{z_2},{z_3}\) tạo thành một tam giác đều thì: \(\left\{ \begin{array}{l} \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_3}} \right|\\ \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_2} - {z_3}} \right| \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \\ \sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 8\\ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 0\\ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 8 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow 2{y^2} = 6 \Rightarrow y = \pm \sqrt 3\) Với \(y = \sqrt 3 \Rightarrow x = - \sqrt 3 \Rightarrow {z_3} = - \sqrt 3 + \sqrt 3 i\) Với \(y = - \sqrt 3 \Rightarrow x = \sqrt 3 \Rightarrow {z_3} = \sqrt 3 - \sqrt 3 i\)
Câu 403: Tìm số phức z thỏa mãn \(z + z.\overline z = \frac{i}{2}\). A. \(z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\) B. \(z = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\) C. \(z= \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i\) D. \(z = - \frac{1}{2}i\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi\,(x,y \in R)\) \(z + z.\overline z = \frac{i}{2} \Leftrightarrow x + iy + {x^2} + {y^2} = \frac{i}{2}\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + {x^2} + {y^2} = 0\\ y = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{1}{2}\\ y = \frac{1}{2} \end{array} \right.\) \(\Rightarrow z = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
Câu 404: Trên mặt phẳng phức, tập hợp tất cả các số phức z thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = 1\) là đường tròn có phương trình nào sau đây? A. \({x^2} + {y^2} - 2x - 1 = 0.\) B. \({x^2} + {y^2} - 2x + y - 1 = 0.\) C. \({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 3 = 0\) D. \({x^2} + {y^2} - 2y = 0\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi\,(x,y \in R)\) M(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng phức \(z - i = x + \left( {y - 1} \right)i \Rightarrow \left| {z - i} \right| = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = 1\) \(\Rightarrow {x^2} + {(y - 1)^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y = 0.\)
Câu 405: Tìm môđun của số phức \(z = {(1 + 2i)^2}(1 - i)\). A. \(\left| z \right| = 5\sqrt 2\) B. \(\left| z \right| = 50\) C. \(\left| z \right| = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\) D. \(\left| z \right| = \frac{{10}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \(z = {\left( {1 + 2i} \right)^2}(1 - i) = (1 + 4i + 4{i^2})(1 - i) = ( - 3 + 4i)(1 - i) = 1 + 7i\) \(\Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {7^2}} = \sqrt {50} = 5\sqrt 2\)
Câu 406: Cho số phức \(z = \left( {{m^2} + m - 2} \right) + \left( {{m^2} - 1} \right)i\,(m \in R)\). Tìm giá trị của m để z là số thuần ảo và khác 0. A. m=1. B. m=2. C. m=-2. D. \(m = \pm 1\) Spoiler: Xem đáp án z là số thuần ảo và khác 0 khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l} {m^2} + m - 2 = 0\\ {m^2} - 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 2.\)
Câu 407: Số nào sau đây là số thực? A. \(\left( {\sqrt 3 + 2i} \right) - \left( {\sqrt 3 - 2i} \right)\) B. \(\left( {3 + 2i} \right) + \left( {3 - 2i} \right)\) C. \(\left( {1 + 2i} \right) + \left( { - 1 + 2i} \right)\) D. \(\left( {5 + 2i} \right) - \left( {\sqrt 5 - 2i} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Kiểm tra phương án B: \(\left( {3 + 2i} \right) + \left( {3 - 2i} \right) = 6\) là số thực. Kiểm tra tương tự với các phương án khác.
Câu 408: Gọi T là tập hợp số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - i} \right| = \left| {\overline z - 2 - 3i} \right|\). Gọi a là môđun nhỏ nhất của z với mọi \(z \in T\). Khi đó giá trị của a là? A. \(\frac{{3\sqrt 5 }}{5}\) B. \(\sqrt {13}\) C. 1 D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi\) với \(a,b \in R\) thì ta có: \(\left| {a + (b - 1)i} \right| = \left| {(a - 2) - (b + 3)i} \right|\) \(\Leftrightarrow {a^2} + {(b - 1)^2} = {(a - 2)^2} + {(b + 3)^2}\) \(\Leftrightarrow {a^2} + {{\bf{b}}^2} - 2b + 1 = {a^2} - 4a + 4 + {b^2} + 6b + 9\) \(\Leftrightarrow a - 2b - 3 = 0\) Suy ra z nằm trên đường thẳng d có phương trình: x-2y-3=0. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z có môđun nhỏ nhất trên mặt phẳng phức. Khi đó \(\left| z \right|\min\) khia và chỉ khi \(OM\min\) hay M là hình chiếu vuông góc của O trên d và ta tìm được \(M\left( {\frac{3}{5}; - \frac{6}{5}} \right)\). Vậy môđun nhỏ nhất cần tìm là: \(\sqrt {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{6}{5}} \right)}^2}} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\).
Câu 409: Số phức thỏa mãn điều kiện vào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo? A. Số phức có phần thực nằm trong \(\left( { - 1;1} \right)\) và mô đun nhỏ hơn 2. B. Số phức có phần thực nằm trong \(\left[ { - 1;1} \right]\) và mô đun nhỏ hơn 2 C. Số phức có phần thực nằm trong \(\left[ { - 1;1} \right]\) và mô đun không vượt quá 2. D. Số phức có phần thực nằm trong \(\left( { - 1;1} \right)\) và mô đun không vượt quá 2. Spoiler: Xem đáp án Vậy ở đây ta thấy nếu lấy một điểm bất kì trong phần gạch chéo là \(M\left( {a,b} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le a \le 1\\ OM \le 2 \end{array} \right.\) Vậy đáp án là C.
Câu 410: Cho số phức z thỏa mãn: \({z^3} = \bar z\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. \(\left| z \right| = 1\) B. z có thể nhận giá trị là số thực hoặc số thuần ảo. C. Phần thực của z không lớn hơn 1. D. Đáp án B và C đều đúng. Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({z^3} = \bar z \Leftrightarrow {\left| z \right|^3} = \left| {{z^3}} \right| = \left| {\bar z} \right| = \left| z \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left| z \right| = 0\\ \left| z \right| = 1 \end{array} \right.\) Như vậy khẳng định A sai. Ta nhận thấy z=1 và z=i đều thỏa mãn phương trình nên B là đúng. Rõ ràng từ \(\left| z \right| = 0;\left| z \right| = 1\) thì ta thấy ngay phần thực của z không lớn hơn 1 nên khẳng định C cũng đúng. Vậy đáp án cần tìm là D.
Câu 411: Giải phương trình sau trong tập số phức \({z^2} + 2z + 15 = 0\). Tìm tập nghiệm S của phương trình. A. \(S = \left\{ {1 + \sqrt {14} i;1 - \sqrt {14} i} \right\}\) B. \(S = \left\{ { - 1 + \sqrt {14} i; - 1 - \sqrt {14} i} \right\}\) C. \(S = \left\{ { - 1 + \sqrt {56} i; - 1 - \sqrt {56} i} \right\}\) D. \(S = \left\{ {1 + \sqrt {56} i;1 - \sqrt {56} i} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án Dùng máy tính bỏ túi ta dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình trên tập số phức. \({z^2} + 2z + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 1 + \sqrt {14}i \\ z = - 1 - \sqrt {14} i \end{array} \right.\) Đáp án B
