Câu 412: Cho số phức \(z= \frac{{1 - i}}{{1 + i}}\). Tính giá trị của \({z^{2016}}\). A. i B. -i C. 1 D. -1 Spoiler: Xem đáp án \(z = \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^2}}}{2} = i\) \({z^{2016}} = {i^{2016}} = {i^{4.504}} = {\left( {i{}^4} \right)^{504}} = 1\)
Câu 413: Cho số phức \(${z_1} = 3 + 2i;{z_2} = 5 + 6i.\) Tính \(A = {z_1}{z_2} + 5{z_1} + 6{z_2}\). A. \(A = 48 + 74i\) B. \(A = 18 + 54i\) C. \(A = - 42 - 18i\) D. \(42 + 18i\) Spoiler: Xem đáp án \(A = \left( {3 + 2i} \right)\left( {5 + 6i} \right) + 5\left( {3 + 2i} \right) + 6\left( {5 + 6i} \right)\) \(= 12{i^2} + 28i + 15 + 15 + 10i + 30 + 36i = 48 + 74i\) Ngoài ra có thể dùng máy tính bỏ túi.
Câu 414: Tìm số phức z biết rằng điểm biểu diễn của z nằm trên đường tròn có tâm O, bán kính bằng 5 và nằm trên đường thẳng \(d:x - 2y + 5 = 0\). A. \(z = 3 - 4i\) B. \(z = 3 + 4i\) C. \(z = 4 + 3i\) D. \(z = 4 - 3i\) Spoiler: Xem đáp án Ta đặt \(z = x + iy\,\,\left( {x,y \in R} \right)\). Khi đó từ đề bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 25\\ x - 2y + 5 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {2y - 5} \right)^2} + {y^2} = 25\\ x = 2y - 5 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5{y^2} - 20y = 0\\ x = 2y - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} y = 0\\ x = - 5 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} y = 4\\ x = 3 \end{array} \right. \end{array} \right.\). Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 415: Tìm số nghiệm của phương trình \({z^3} - 2\left( {i + 1} \right){z^2} + 3iz + 1 - i = 0\). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Spoiler: Xem đáp án \(\Rightarrow {z^3} - 2\left( {i + 1} \right){z^2} + 3iz + 1 - i = \left( {z - 1} \right)\left( {{z^2} - \left( {1 + 2i} \right)z - 1 + i} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 1\\ {z^2} - \left( {1 + 2i} \right)z - 1 + i = 0\,\,\,\,(*) \end{array} \right.\) \({z^2} - \left( {1 + 2i} \right)z - 1 + i = 0\,\,\,\,(*)\) \(\Delta = {\left( { - \left( {1 + 2i} \right)} \right)^2} - 4\left( { - 1 + i} \right) = 1\) Vậy (*) có 2 nghiệm là: \(\left[ \begin{array}{l} z = 1 + i\\ z = i \end{array} \right.\) Vậy phương trình có 3 nghiệm.
Câu 416: Xác định tập hợp các điểm trong hệ tọa độ vuông góc biểu diễn số phức \(z = x + iy\) thỏa mãn điều kiện \(\left| z \right| = 2\). A. Đường tròn \({x^2} + {y^2} = 4\) B. Đường thẳng y=2 C. Đường thẳng x=2 D. Hai đường thẳng x=2 và y=2 Spoiler: Xem đáp án \(\left| z \right| = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 2\) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4\) Vậy đáp án là A.
Câu 417: Tìm phần thực, phần ảo của số phức \(z = \frac{{3 - i}}{{1 + i}} + \frac{{2 + i}}{i}.\). A. phần thực: a=2; phần ảo b=-4i B. phần thực: a=2; phần ảo b=-4 C. phần thực: a=2; phần ảo b=4i D. phần thực: a=2; phần ảo b=4 Spoiler: Xem đáp án \(z = \frac{{\left( {3 - i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{{1^2} - {i^2}}} + \frac{{\left( {2 + i} \right)i}}{{{i^2}}}\) \(= \frac{{{i^2} - 4i + 3}}{{1 + 1}} + \frac{{ - 1 + 2i}}{{ - 1}}\) \(= \frac{{ - 1 - 4i + 3}}{2} - \left( { - 1 + 2i} \right)\)\(= 2 - 4i\) Vậy phần thực: a=2 ; phần ảo b=-4. Có thể bấm máy tính để suy ra kết quả.
Câu 418: Số \({{i^2} + {i^3} + {i^4} + {i^5}}\) bằng số nào dưới đây? A. 0 B. i C. -i D. 2i Spoiler: Xem đáp án Áp dụng công thức: \({i^2} = - 1\). Khi đó \({i^2} + {i^3} + {i^4} + {i^5} = - 1 - 1.i + 1 + i = 0\). Vậy đáp án của ta là A. Có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tìm kết quả trong bài toán này.
Câu 419: Cho số phức \(z = \left( {5 + 3i} \right)\left( {3 - 5i} \right)\). Tính môđun của số phức z. A. \(\left| z \right| = 15\sqrt 2\) B. \(\left| z \right| = 16\) C. \(\left| z \right| = 25\) D. \(\left| z \right| = 27\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} z = \left( {5 + 3i} \right)\left( {3 - 5i} \right) = 30 - 16i\\ \Rightarrow \left| z \right| = 16 \end{array}\)
Câu 420: Trên mặt phẳng phức, tìm đồ thị của tập hợp các điểm biểu diễn số phức z biết \(z.\overline z = 4\) (đối với các đồ thị có gạch chéo thì tập hợp điểm là cả phần gạch chéo và cả biên). A. B. C. D. Spoiler: Xem đáp án Bài toán yêu cầu tìm tập hợp các điểm biểu diễn của z , tức là liên quan đến x, y. Do vậy ta sẽ đặt \(z = x + iy\), khi đó \(\bar z = x - iy\). Vậy \(z.\bar z = \left( {x + iy} \right)\left( {x - iy} \right) = {x^2} + {y^2}\) Theo đề bài thì \({x^2} + {y^2} = 4\). Nhận thấy đây là phương trình đường tròn tâm O(0;0) bán kính R=2. Vậy ta sẽ chọn phương án B.
Câu 421: Trên mặt phẳng phức, xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho \(\frac{1}{z}\) là số thuần ảo. A. Trục hoành B. Trục tung C. Trục tung bỏ điểm O D. Trục hoành bỏ điểm O Spoiler: Xem đáp án Ta đặt \(z = a + bi\) với \(a,b \in R\). Khi đó \(\frac{1}{z} = \frac{1}{{a + bi}} = \frac{{a - bi}}{{{a^2} - {b^2}{i^2}}} = \frac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}\) Để \(\frac{1}{z}\) là một số thuần ảo thì \(\frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} = 0\) và \(\frac{{ - b}}{{{a^2} + {b^2}}} \ne 0\). Khi đó \(z = 0 + bi\) là số thuần ảo. Và tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x=0 , mà \(b \ne 0\) do đó tập hợp đó sẽ trừ đi O. Đáp án C.
