Câu 422: Cho \(z = x + iy;z' = x' + iy'{\rm{ }}\left( {x,y,x',y' \in R} \right)\) Khẳng định sau đây là khẳng định sai? A. \(z \pm z' = \left( {x \pm x'} \right) + i\left( {y \pm y'} \right)\) B. \(z.z' = xx' - yy' + i\left( {xy' + x'y} \right)\) C. \(\frac{z}{{z'}} = \frac{{xx' + yy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}} + i\frac{{x'y - xy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}}\) D. B và C Spoiler: Xem đáp án Với phương án A: Nhận thấy \(z \pm z' = \left( {x + iy} \right) \pm \left( {x' + iy'} \right)\) \(= \left( {x \pm x'} \right) + \left( {y \pm y'} \right)i\). Vậy đây là mệnh đề đúng. * Với phương án B. Ta có: \(\begin{array}{l} z.z' = \left( {x + iy} \right).\left( {x' + iy'} \right)\\ = xx' + ixy' + ix'y + {i^2}yy' \end{array}\) \(= xx' - yy' + i\left( {xy' + x'y} \right)\). Vậy đây là mệnh đề đúng. * Với phương án C: Nhận thấy ở phần phương án mẫu số có dạng \(x{'^2} + y{'^2}\) nên ta sẽ nhân thêm số phức liên hợp vào để tạo ra \(x{'^2} + y{'^2}\) \(\frac{z}{{z'}} = \frac{{x + iy}}{{x' + iy'}} = \frac{{\left( {x + iy} \right)\left( {x' - iy'} \right)}}{{\left( {x' + iy'} \right)\left( {x' - iy'} \right)}}\) \(= \frac{{xx' - ixy' + iyx' - {i^2}yy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}} = \frac{{xx' + yy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}} + i.\frac{{x'y - xy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}}\) Đây là mệnh đề đúng. Vậy D là đáp án cần tìm.
Câu 423: Cho z0 là nghiệm của phương trình \({z^2} - 13z + 45 = 0\). Tính tổng \({z_0} + \overline {{z_0}}\). A. -13 B. 13 C. 45 D. -45 Spoiler: Xem đáp án Giải phương trình ta có: phương trình có hai nghiệm \({z_1} = \frac{{13}}{2} + \frac{{\sqrt {11} }}{2}i\) và \({z_2} = \frac{{13}}{2} - \frac{{\sqrt {11} }}{2}i\) Hai nghiệm này là số phức liên hợp của nhau, do đó \({z_0} + {\bar z_0} = {z_1} + {z_2} = 13\).
Câu 424: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. Hiệu của một số phức và số phức liên hợp của nó là một số thuần ảo. B. Tích của một số phức và số phức liên hợp của nó là một số ảo. C. Điểm \(M\left( {a,b} \right)\) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\). D. Mô đun của số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}\). Spoiler: Xem đáp án Với mệnh đề A: ta có \(z- \overline z = \left( {a + bi} \right) - \left( {a - bi} \right) = 2bi\) đây là một số thuần ảo. Vậy đáp án A đúng. Với mệnh đề B: ta có \(z.\overline z = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = {a^2} - {b^2}.{i^2} = {a^2} + {b^2}\) (do \({i^2} = - 1).\) Đây là số thực, vậy mệnh đề này sai. C và D là các mệnh đề đúng.
Câu 425: Tìm điểm biểu diễn của số phức \(z = 5 - 3i\) trên mặt phẳng phức. A. \(M\left( {5; - 3} \right)\) B. \(N\left( { - 3;5} \right)\) C. \(P\left( { - 5;3} \right)\) D. \(Q\left( {3; - 5} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta cùng nhắc lại kiến thức sách giáo khoa như sau: Điểm biểu diễn số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in R} \right)\) trong mặt phẳng vuông góc là điểm \(M\left( {x;y} \right)\). Vậy \(M\left( {5; - 3} \right)\) chính là điểm biểu diễn số phức \(z = 5 - 3i\).
Câu 426: Tìm tập hợp các nghiệm phức của phương trình \({z^2} + {\left| z \right|^2} = 0\). A. Tập hợp mọi số thuần ảo và số 0. B. \(\left\{ { \pm i;0} \right\}\) C. \(\left\{ { - i;0} \right\}\) D. \(\left\{ {0} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\Leftrightarrow {a^2} + 2abi + {b^2}{i^2} + {a^2} + {b^2} = 0 \Leftrightarrow 2{a^2} + 2abi = 0\) \(\Leftrightarrow 2a\left( {a + bi} \right) = 0\) ( do \({i^2} = - 1\)) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 0\\ a + bi = 0 \Leftrightarrow z = 0 \end{array} \right.\) Với a=0 thì \(z = 0 + bi\) là số thuần ảo. Vậy đáp án đúng là A.
Câu 427: Miêu tả tập số phức z trên hệ tọa độ phức mà thỏa mãn \(\left| {z + 3i - 2} \right| = 10\) là: A. Đường thẳng \(3x - 2y = 100\) B. Đường thẳng \(2x - 3y = 100\) C. Đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 100\) D. Đường tròn \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 100\) Spoiler: Xem đáp án Mỗi số phức \(z = x + yi\) được biểu diễn bởi một điểm (x;y). Do đó ta có tập số phức z thỏa mãn là: \(\left| {x + 3i + yi - 2} \right| = 10 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 100\) Vậy đáp án đúng là C.
Câu 428: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(z - 2\bar z = 3 + 4i\). Phát biểu nào sau đây là phát biểu sai? A. z có phần thực là -3. B. \(\bar z + \frac{4}{3}i\) có môđun là \(\frac{{\sqrt {97} }}{3}\). C. z có phần ảo là \(\frac{4}{3}\). D. z có modun là \(\frac{\sqrt{97}}{3}\). Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi,\,\left( {x,y \in R} \right) \Rightarrow \bar z = x - yi \Rightarrow - 2\bar z = - 2x + 2yi\) \(x + yi - 2x + 2yi = 3 + 4i \Leftrightarrow - x + 3yi = 3 + 4i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x = 3\\ 3y = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 3\\ y = \frac{4}{3} \end{array} \right.\) Vậy \(z = - 3 + \frac{4}{3}i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{97}}{9}} = \frac{{\sqrt {97} }}{3}\)
Câu 429: Cho số phức \(z = 7 + 6i\), tính môđun của số phức \({z_1} = \frac{{2{z^2} + 1}}{3}\). A. \(\sqrt {3217}\) B. \(\sqrt {85}\) C. 3127 D. 85 Spoiler: Xem đáp án \({z_1} = \frac{{2.{{\left( {7 + 6i} \right)}^2} + 1}}{3} = \frac{{98 + 168i + 72{i^2} + 1}}{3}\) \(= \frac{{27 + 168i}}{3} = 9 + 56i\) \(\left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{9^2} + {{56}^2}} = \sqrt {3127}\) Vậy đáp án cần tìm là A.
Câu 430: Tìm số phức \(\bar z\) thỏa mãn $\(\frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}} \)$. A. \(\frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i\) B. \(\frac{{22}}{{25}} - \frac{4}{{25}}i\) C. \(\frac{{22}}{{25}}i + \frac{4}{{25}}\) D. \(- \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}} \Rightarrow z = \frac{{\left( { - 1 + 3i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{{{\left( {2 + i} \right)}^2}}}\) \(= \frac{{\left( { - 1 + 3i} \right)\left( {1 - i} \right){{\left( {2 - i} \right)}^2}}}{{25}} = \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i \Rightarrow \overline z = \frac{{22}}{{25}} - \frac{4}{{25}}i.\) Vậy đáp án cần tìm là B.
Câu 431: Cho số phức \({z_1} = 3 + 2i,\,{z_2} = 6 + 5i\). Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = 5{z_1} + 6{z_2}\). A. \(\bar z = 51 + 40i\) B. \(\bar z = 51 - 40i\) C. \(\bar z = 48 + 37i\) D. \(\bar z = 48 - 37i\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = 5\left( {3 + 2i} \right) + 6\left( {6 + 5i} \right) = 51 + 40i \Rightarrow \overline z = 51 - 40i\) Đáp án cần tìm là B.
