Câu 41: Cho số phức \(z = 3 + 2i\), số phức \(z - 2\bar z = a + bi\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Khẳng định nào sau đây là sai? A. \(a + b < 4\) B. a < 0 C. \(b - a = 3\) D. \(a.b = 18\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(z - 2\bar z = a + bi \Rightarrow a + bi = 3 + 2i - 2\left( {3 - 2i} \right) = - 3 + 6i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 6\end{array} \right. \Rightarrow ab = - 18.\)
Câu 42: Cho \({z_1} = 2 + 3i;\,\,{z_2} = 1 + i\). Tính \(\left| {\frac{{z_1^3 + {z_2}}}{{{z_1} + {z_2}}}} \right|?\) A. \(\sqrt {85} \) B. 85 C. \(\frac{{61}}{5}\) D. \(\sqrt {\frac{{85}}{{25}}} \) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left| {\frac{{z_1^3 + {z_2}}}{{{z_1} + {z_2}}}} \right| = \left| {\frac{{{{(2 + 3i)}^3} + (1 + i)}}{{2 + 3i + 1 + i}}} \right| = \left| { - \frac{{19}}{5} + \frac{{42}}{5}i} \right| = \sqrt {85} .\)
Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left( {3 + 2i} \right)z + {\left( {2 - i} \right)^2} = 4 + i\). Tìm phần ảo của số phức \(w = \left( {1 + z} \right)\bar z?\) A. – 2 B. 0 C. -1 D. -i Spoiler: Xem đáp án \(\left( {3 + 2i} \right)z + {\left( {2 - i} \right)^2} = 4 + i \Leftrightarrow z = \frac{{4 + i - {{(2 - i)}^2}}}{{3 + 2i}} = 1 + i.\) \(w = \left( {1 + z} \right)\bar z = (1 + i + 1)(1 - i) = 3 - i.\) Vậy phần ảo của số phức \({\rm{w}}\) là -1.
Câu 44: Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 2 - 3i} \right| = 1.\) Tìm giá trị lớn nhất của \(\left| z \right|.\) A. \(1 + \sqrt {13} .\) B. \(\sqrt {13} .\) C. \(2 + \sqrt {13} .\) D. \(\sqrt {13} - 1.\) Spoiler: Xem đáp án Tập hợp điểm biểu diễn z là đường tròn tâm \(I\left( {2;3} \right)\) và bán kính \(R = 1.\) Vậy ta có: \({\left| z \right|_{max}} = OA = OI + R = \sqrt {13} + 1.\)
Câu 45: Cho số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right).\) Khẳng định nào sau đây là sai? A. \(z.\overline z \) là số thực. B. \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\) C. \(\overline z = a - bi.\) D. \({z^2}\) là số thực. Spoiler: Xem đáp án Ta có \({z^2} = {(a + bi)^2} = {a^2} - {b^2} + 2bi\) chỉ là số thực khi b=0.
Câu 46: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức \({z_1} = 1 + 3i\) và \({z_2} = 7 - i.\) I là trung điểm đoạn MN. Trong các số phức z sau đây, điểm I biểu diễn cho số phức nào? A. \(z = 2 - \frac{4}{3}i.\) B. \(z = 3 - 2i.\) C. \(z = - 4 + 2i.\) D. \(z = 4 + i.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M\left( {1;3} \right)\\N\left( {7; - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {4;1} \right) \Rightarrow z = 4 + i.\)
Câu 47: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn điều kiện \({\left( {1 + i} \right)^2}z + 8 - i = 3{\rm{z}}{\rm{.}}\) A. z có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 2. B. z có phần thực bằng \( - 2\) và phần ảo bằng 1. C. z có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 1. D. z có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng \( - 1\). Spoiler: Xem đáp án \({\left( {1 + i} \right)^2}z + 8 - i = 3z \Leftrightarrow z = \frac{{ - 8 + i}}{{{{\left( {1 + i} \right)}^2} - 3}} = 2 + i.\)
Câu 48: Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn số phức z biết z thỏa mãn phương trình \(\left( {1 + i} \right)\overline z = 3 - 5i.\) A. \(M\left( {1;4} \right).\) B. \(M\left( {1; - 4} \right).\) C. \(M\left( { - 1;4} \right).\) D. \(M\left( { - 1; - 4} \right).\) Spoiler: Xem đáp án \(\left( {1 + i} \right)\overline z = 3 - 5i \Leftrightarrow \overline z = \frac{{3 - 5i}}{{1 + i}} = - 1 - 4i \Rightarrow z = - 1 + 4i \Rightarrow M\left( { - 1;4} \right).\)
Câu 49: Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(5{{\rm{z}}^2} - 8{\rm{z}} + 5 = 0.\) Tính \(S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + {z_1}{z_2}.\) A. \(S = 3.\) B. \(S = 15.\) C. \(S = \frac{{13}}{5}.\) D. \(S = \frac{{ - 3}}{5}.\) Spoiler: Xem đáp án \(5{{\rm{z}}^2} - 8{\rm{z}} + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \frac{4}{5} + \frac{3}{5}i\\z = \frac{4}{5} - \frac{3}{5}i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = \frac{4}{5} + \frac{3}{5}i\\{z_2} = \frac{4}{5} - \frac{3}{5}i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1\\{z_1}{z_2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow S = 3.\)
Câu 50: Cho số phức \(z = \frac{{i - m}}{{1 - m(m - 2i)}},m \in R\). Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn tại m để \(\left| {z + 1} \right| \le k.\) A. \(k = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}\) B. k = 1 C. k = 0 D. \(k = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = \frac{1}{{m - i}} \Rightarrow \left| {z + 1} \right| = \frac{{\sqrt {{m^2} + 2m + 2} }}{{\sqrt {{m^2} + 1} }};\,\,\left| {z + 1} \right| \le k \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \ge 0\\{k^2} \ge \frac{{{m^2} + 2m + 2}}{{{m^2} + 1}} = f\left( m \right)\end{array} \right.\left( * \right)\) Để tồn tại m thỏa mãn \(\left( * \right)\) thì \({k^2} \ge {\mathop{\rm minf}\nolimits} \left( m \right).\) Lập bảng biến thiên: Vậy giá trị nhỏ nhất của số thực k là \({k^2} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow k = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.\)
