Câu 51: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\). Tìm số phức z có mô đun bé nhất. A. z = 2 + 2i B. z = 2 + i C. z = 1 + 3i D. z = 3 + i Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi;\,\,a,b \in \mathbb{R}.\) Ta có: \(\left| {a - 2 + \left( {b - 4} \right)i} \right| = \left| {a + \left( {b - 2} \right)i} \right| \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} \Leftrightarrow a + b = 4 \Leftrightarrow b = - {\rm{a}} + 4\) Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( { - a + 4} \right)}^2}} = \sqrt {2{{\rm{a}}^2} - 8{\rm{a}} + 16} = \sqrt {2{{\left( {a - 2} \right)}^2} + 8} \ge 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left| z \right| \ge 2\sqrt 2 .\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a - 2 = 0 \Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow z = 2 + 2i.\)
Câu 52: Tìm phần thực của số phức z thỏa mãn \({(1 + i)^2}(2 - i)z = 8 + i + (1 + 2i)z.\) A. -1 B. 2 C. -6 D. -3 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = \frac{{8 + i}}{{{{\left( {1 + i} \right)}^2}\left( {2 - i} \right) - \left( {1 + 2i} \right)}} = 2 - 3i.\)
Câu 53: Gọi \({z_0}\) là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \({z^2} - 8{\rm{z}} + 25 = 0.\) Đặt \(z_0^2 = a + bi,\)tính tích ab. A. ab=-12 B. ab=-240 C. ab=-5 D. ab=-168 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({z^2} - 8{\rm{z}} + 25 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z - 4} \right)^2} = - 9 \Leftrightarrow z = 4 \pm 3i \Rightarrow {z_0} = 4 - 3i \Rightarrow z_0^2 = 7 - 24i.\) Do đó \(ab = - 7.24 = - 168.\)
Câu 54: Tìm môđun của số phức z = i(5 – 4i). A. 3 B. \(\sqrt {41} \) C. 1 D. 9 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = 4 + 5i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{4^2} + {5^2}} = \sqrt {41} .\)
Câu 55: Cho số phức z = 6 + 7i. Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn số phức liên hợp của z. A. M (6; -7) B. M (-6; -7) C. M (-6; 7) D. M (6; 7) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overline z = 6 - 7i \Rightarrow M(6;7).\)
Câu 56: Cho số phức w, biết rằng \({z_1} = w - 2i\) và \({z_2} = 2w - 4\) là hai nghiệm của phương trình\({z^2} + az + b = 0\) với a, b là các số thực. Tính \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\). A. \(T = \frac{{8\sqrt {10} }}{3}\) B. \(T = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) C. \(T = 5\) D. \(T = \frac{{2\sqrt {37} }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(w = x + yi,(x,y \in \mathbb{R}).\) Theo Viet ta có: \({z_1} + {z_2} = - a = 3w - 2i - 4 = \left( {3x - 4} \right) + \left( {3y - 2} \right)i\) là số thực nên \(y = \frac{2}{3}\). Lại có \({z_1}{z_2} = b = \left( {x + \frac{2}{3}i - 2i} \right)\left( {2x + \frac{4}{3}i - 4} \right)\) là số thực. Suy ra \(\left( {x - \frac{4}{3}i} \right)\left( {2x - 4 + \frac{4}{3}i} \right) = x\left( {2x - 4} \right) - \frac{4}{3}i\left( {x - 4} \right) + \frac{{16}}{9}\) là số thực suy ra \(x = 4\) Do đó \({z_1} = 4 + \frac{2}{3}i - 2i = 4 - \frac{4}{3}i;{z_2} = 4 + \frac{4}{3}i \Rightarrow T = \frac{{8\sqrt {10} }}{3}.\)
Câu 57: Cho số phức z thoả mãn \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 .\) Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}.\) Tính môđun của số phức \(w = M + mi\,.\) A. \(\left| w \right| = 2\sqrt {314} \) B. \(\left| w \right| = 2\sqrt {309} \) C. \(\left| w \right| = \sqrt {1258} \) D. \(\left| w \right| = 3\sqrt {137} \) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi\,,(x,y \in \mathbb{R}).\) Ta có \(P = {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} - \left[ {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right] = 4x + 2y + 3\) Mặt khác: \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\) Đặt: \(x = 3 + \sqrt 5 \sin t;\,\,y = 4 + \sqrt 5 \cos t\) thỏa \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5.\) Suy ra: \(P = 4\sqrt 5 \sin t + 2\sqrt 5 \cos t + 23\,\) Xét hàm số: \(f(t) = 4\sqrt 5 \sin t + 2\sqrt 5 {\mathop{\rm cost}\nolimits} \) Chi 2 vế cho \(\sqrt {{{\left( {4\sqrt 5 } \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}} ,\) ta có: \(f(t) = 4\sqrt 5 \sin t + 2\sqrt 5 {\mathop{\rm cost}\nolimits} \Leftrightarrow \frac{{f(t)}}{{10}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\sin t + \frac{{\sqrt 5 }}{5}\cos t\) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos u = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\\\sin u = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\end{array} \right.\) ta có: \(\begin{array}{l}\frac{{f(t)}}{{10}} = {\mathop{\rm cosu}\nolimits} .sint + sinu.\cos t = \sin (t + u)\\ \Rightarrow - 1 \le \frac{{f(t)}}{{10}} \le 1 \Leftrightarrow - 10 \le f(t) \le 10 \Rightarrow 13 \le P \le 33\\ \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {1258} .\end{array}\)
Câu 58: Cho số phức \(z = a + ib\) trong đó a, b là các số thực. Khẳng định nào sau đây là sai? A. z là số ảo khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\) B. z là số ảo khi \(a = 0\) C. z là số thực khi \(b = 0\,\) D. z là số thuần ảo khi \(\overline z \) là số thuần ảo Spoiler: Xem đáp án z là số ảo khi \(b \ne 0.\)
Câu 59: Cho số phức z thỏa mãn \(\frac{{z + 1}}{{z - 1}}\) là số thuần ảo. Tìm \(\left| z \right|\). A. \(\left| z \right| = 2\) B. \(\left| z \right| = 1\) C. \(\left| z \right| = \frac{1}{2}\) D. \(\left| z \right| = 4\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi;\,\,\,a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow \frac{{z + 1}}{{z - 1}} = 1 + \frac{2}{{a - 1 + bi}} = 1 + \frac{{2\left( {a - 1 - bi} \right)}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}}}\) \( = 1 + \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}}} - \frac{{2b}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}}}i.\) Do \(\frac{{z + 1}}{{z - 1}}\,\) là số thuần ảo, suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}}} = 0\\ - \frac{{2b}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}}} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b \ne 0\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} + 2\left( {a - 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b \ne 0\\{a^2} + {b^2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left| z \right| = 1.\)
Câu 60: Cho số phức \(z = a + bi\)(trong đó a, b là các số thực) thỏa mãn\(z - \left( {4 + 5i} \right)\overline z = - 17 + 11i\). Tính ab. A. ab = -6. B. ab = -3 C. ab = 3 D. ab = 6 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}z - \left( {4 + 5i} \right)\overline z = - 17 + 11i \Leftrightarrow 3\left( {a + bi} \right) - \left( {4 + 5i} \right)\left( {a - bi} \right) = - 17 + 11i\\ \Leftrightarrow \left( { - a - 5b} \right) + \left( { - 5a + 7b} \right)i = - 17 + 11i\end{array}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a - 5b = - 17\\ - 5a + 7b = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow ab = 6\)
