Câu 61: Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn\(\left| {z - 1 + i} \right| = \left| {z - 2i} \right|.\) A. Đường tròn có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 3.\) B. Đường tròn có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 3.\) C. Đường thẳng có phương trình \(x + 3y - 1 = 0.\) D. Đường thẳng có phương trình \(x - 3y + 1 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi;x,y \in \mathbb{R} \Rightarrow \left| {\left( {x - 1} \right) + \left( {y + 1} \right)i} \right| = \left| {x + \left( {y - 2} \right)i} \right|\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow - 2x + 1 + 2y + 1 = - 4y + 4 \Leftrightarrow x - 3y + 1 = 0\) Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình x – 3y + 1 = 0.
Câu 62: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để số phức \(z = \frac{{m + i}}{{m - i}}\) có phần thực dương. A. \(m > 0.\) B. \(\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right..\) C. \( - 1 < m < 1.\) D. \(m > 1.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = \frac{{m + i}}{{m - i}} = \frac{{{{\left( {m + i} \right)}^2}}}{{{m^2} + 1}} = \frac{{{m^2} - 1}}{{{m^2} + 1}} + \frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}i\). z có phần thực dương, suy ra \(\frac{{{m^2} - 1}}{{{m^2} + 1}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\).
Câu 63: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(3 \le \left| {z - 3i + 1} \right| \le 5\). Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng. Tính diện tích S của hình phẳng đó. A. \(S = 25\pi .\) B. \(S = 8\pi .\) C. \(S = 4\pi .\) D. \(S = 16\pi .\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi;x,y \in \mathbb{R} \Rightarrow 3 \le \left| {\left( {x + 1} \right) + \left( {y - 3} \right)i} \right| \le 5 \Leftrightarrow 9 \le {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} \le 25\). Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là phần hiệu diện tích của hai đường tròn có cùng tâm \(I\left( { - 1;3} \right)\) và bán kính lần lượt là 3 và 5. Suy ra \(S = 25\pi - 9\pi = 16\pi \).
Câu 64: Cho số phức z thỏa mãn \(z + \left( {1 - 2i} \right)\overline z = 2 - 4i\). Tìm môđun của số phức z. A. \(\left| z \right| = 3.\) B. \(\left| z \right| = \sqrt 5 .\) C. \(\left| z \right| = 5.\) D. \(\left| z \right| = \sqrt 3 .\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi;a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow a + bi + \left( {1 - 2i} \right)\left( {a - bi} \right) = 2 - 4i \Leftrightarrow \left( {2a - 2b} \right) - 2ai = 2 - 4i\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 2b = 2\\ - 2a = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow z = 2 + i \Leftrightarrow \left| z \right| = \sqrt 5 \).
Câu 65: Xác định phần ảo của số phức \(z = 12 - 18i.\) A. \( - 18.\) B. \(18.\) C. \(12.\) D. \( - 18i.\) Spoiler: Xem đáp án Số phức \(z = 12 - 18i\)có phần ảo là -18.
Câu 66: Trong các kết luận sau, kết luận nào là sai? A. Môđun của số phức z là một số ảo. B. Môđun của số phức \(z \ne 0\) là một số thực dương. C. Môđun của số phức z là một số thực không âm. D. Môđun của số phức z = 0 là 0. Spoiler: Xem đáp án Môđun của số phức z là một số thực.
Câu 67: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j \). Tọa độ của điểm M là: A. \(M\left( {0;2;1} \right).\) B. \(M\left( {1;2;0} \right).\) C. \(M\left( {2;0;1} \right).\) D. \(M\left( {2;1;0} \right).\) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j = 2(1;0;0) + (0;0;1) = (2;1;0).\)
Câu 68: Trong mặt phẳng Oxy, cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = \left| {z + 3i} \right|\). Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z. A. Một đường thẳng. B. Một đường tròn. C. Một hypebol. D. Một elip. Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi;x,y \in \mathbb{R} \Rightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {x + \left( {y + 3} \right)i} \right| \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} \Leftrightarrow y = - 1\). Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng.
Câu 69: Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 3z + 7 = 0\). Dạng đại số của số phức \(w = z_1^2 + z_2^2 - i{z_1}{z_2}\) là: A. \(w = - 5 + 7i\) B. \(w = 5 - 7i\) C. \(w = 5 + 7i\) D. \(w = - 5 - 7i\) Spoiler: Xem đáp án Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 3\\{z_1}.{z_2} = 7\end{array} \right. \Rightarrow w = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}.{z_2} - i{z_1}.{z_2} = {3^2} - 2.7 - 7i = - 5 - 7i\)
Câu 70: Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = \sqrt 2 \). Tìm giá trị lớn nhất của \(M = \left| {z - 1} \right| + \left| {z + 1 - 2i} \right|.\) A. 6 B. 4 C. \(8\sqrt 2 \) D. \(4\sqrt 2 \) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\), khi đó \(\left| {z - i} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2y + 1\) Ta có \(M = \left| {z - 1} \right| + \left| {z + 1 - 2i} \right| = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {{x^2} + {y^2} - 2x + 1} + \sqrt {{x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 5} = \sqrt {2 + 2y - 2x} + \sqrt {6 + 2x - 2y} \) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: \({\left( {\sqrt {2 + 2y - 2x} + \sqrt {6 + 2x - 2y} } \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {2 + 2y - 2x + 6 + 2x - 2y} \right) = 16\) Do đó \(M = \sqrt {2 + 2y - 2x} + \sqrt {6 + 2x - 2y} \le \sqrt {16} = 4 \Rightarrow {M_{\max }} = 4.\)
