Câu 71: Cho số phức \(z = 4 - 3i\). Mệnh đề nào dưới đây sai? A. \(M\left( {4; - 3} \right)\) là điểm biểu diễn của z. B. \(\overline z = 4 + 3i\) là số phức liên hợp của z. C. z có phần thực là 4, phần ảo là 3. D. \(\left| z \right| = 5\) Spoiler: Xem đáp án z có phần thực là 4, phần ảo là -3.
Câu 72: Cho số phức \(z \ne 0\) có điểm biểu diễn là M. Gọi N là điểm đối xứng với M qua trục hoành. Hỏi N là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây? A. \(\overline z \) B. \( - \overline z \) C. \( - z\) D. \(i.\overline z \) Spoiler: Xem đáp án Gọi M(a;b) là biểu diễn của số phức \(z = a + bi.\) N đối xứng với M qua trục hoành suy ra: \(N\left( {a; - b} \right)\) Vậy N là biểu diễn của số phức \(a - bi = \overline z .\)
Câu 73: Cho số phức z thỏa mãn \(\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i\). Hỏi phần thực của số phức \(w = \frac{1}{{1 + z}}\) bằng bao nhiêu? A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) B. \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) C. \(\frac{1}{2}\) D. \(\frac{1}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Giả thiết \(\left( {1 + 2z} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i \Leftrightarrow \left| z \right| + 2i.\left| z \right| + 2 - i = \frac{{\sqrt {10} }}{z} \Leftrightarrow \left| z \right| + 2 + \left( {2\left| z \right| - 1} \right)i = \frac{{\sqrt {10} }}{z}\) Lấy môđun hai vế của (*), ta được \(\sqrt {{{\left( {\left| z \right| + 2} \right)}^2} + {{\left( {2\left| z \right| - 1} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{\left| z \right|}} \Rightarrow \left| z \right| = 1\) Do đó \(1 + 2i = \frac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i \Leftrightarrow z = \frac{{\sqrt {10} }}{{3 + i}} \Rightarrow w = \frac{1}{{1 + z}} = \frac{1}{2} + \frac{{ - 3 + \sqrt {10} }}{2}i.\)
Câu 74: Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và \({\rm{w}} = \frac{z}{{2 + {z^2}}}\) là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = \left| {z + 1 - i} \right|\) là: A. 2 B. \(2\sqrt 2 .\) C. \(\sqrt 2 .\) D. 8 Spoiler: Xem đáp án Ta có w là số thực nên \(\frac{1}{{\rm{w}}} = z + \frac{2}{z}\) là số thực. Đặt \(z = a + bi\,(a;b \in \mathbb{R})\) Mà z không phải là số thực nên \(b \ne 0.\) \( \Rightarrow \frac{1}{{\rm{w}}} = a + bi + \frac{{2\left( {a - bi} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}}\) là số thực khi \(b - \frac{{2b}}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\,\,(loai)\\{a^2} + {b^2} = 2 \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt 2 \end{array} \right.\) Tập hợp các điểm A(x,y) điểm biểu diễn z là đường tròn \(O\left( {0;0} \right);R = \sqrt 2 .\) Ta có: \(M = \left| {z + 1 - i} \right| = \left| {(x + 1) + (y - 1)i} \right| = \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 1)}^2}} = AB\) với B(-1;1). M đạt giá trị lớn nhất khi đoạn thẳng AB đạt giá trị lớn nhất. Ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}A(x;y) \in \left( C \right)\\B( - 1;1) \in \left( C \right)\end{array} \right.\) nên \(A{B_{\max }} = 2R = 2\sqrt 2 .\) Vậy \({M_{\max }} = 2\sqrt 2 .\)
Câu 75: Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1.\) Tính \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right|.\) A. \(\sqrt 3 .\) B. \(2\sqrt 3 .\) C. \(1.\) D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = \left( {{z_1} - {z_2}} \right)\left( {\overline {{z_1} - {z_2}} } \right) = \left( {{z_1} - {z_2}} \right)\left( {\overline {{z_1}} - \overline {{z_2}} } \right) = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} - \left( {{z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}} \right)\) Mà \({\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {\overline {{z_1} + {z_2}} } \right) = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} } \right) = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} + \left( {{z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}} \right)\) Từ đó suy ra: \({\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right) \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 3 .\)
Câu 76: Cho số phức z có điểm biểu diễn là M trong hình vẽ bên. Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức \(\omega = \frac{1}{z}\) là một trong 4 điểm P, Q, R, S. Khi đó điểm biểu diễn số phức \(\omega \) là: A. Điểm R. B. Điểm P. C. Điểm S. D. Điểm Q. Spoiler: Xem đáp án Chọn \(z = 1 + i \Rightarrow {\rm{w}} = \frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\) nên điểm Q biểu diễn số phức w.
Câu 77: Gọi \({z_1}\) là số phức có phần ảo âm của phương trình \({z^2} + 2{\rm{z}} + 2 = 0.\) Tìm số phức liên hợp của \({\rm{w}} = \left( {1 + 2i} \right){z_1}.\) A. \(\overline {\rm{w}} = 1 - 3i.\) B. \(\overline {\rm{w}} = 1 + 3i.\) C. \(\overline {\rm{w}} = - 3 + i.\) D. \(\overline {\rm{w}} = - 3 - i.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({z_1} = - 1 - i \Rightarrow {\rm{w}} = \left( {1 + 2i} \right)\left( { - 1 - i} \right) = 1 - 3i \Rightarrow \overline {\rm{w}} = 1 + 3i.\)
Câu 78: Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Điểm \(M\left( { - a;b} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \(\overline z .\) B. Mô đun của z là một số thực dương. C. Số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của số phức iz. D. \({z^2} = {\left| z \right|^2}.\) Spoiler: Xem đáp án A sai do \(\overline z = a - bi \Rightarrow M(a; - b)\) là điểm biểu diễn của số phức \(\overline z .\) B sai do nếu \(z = 0\) thì \(\left| z \right| = 0\) không phải là một số thực dương. D sai do \({z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi \ne {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2}.\) Ta có: \(\left| {iz} \right| = \left| { - b + ai} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\) \(\left| {a - bi} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\) suy ra C đúng.
Câu 79: Cho các số phức \({z_1} = 1 - 2i;{z_2} = 2 + i.\) Môđun của số phức \({\rm{w}} = {z_1} - 2{{\rm{z}}_2} + 3\) là: A. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {13} .\) B. \(\left| {\rm{w}} \right| = 5.\) C. \(\left| {\rm{w}} \right| = 4.\) D. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 5 .\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\rm{w}} = {z_1} - 2{{\rm{z}}_2} + 3 = - 4i \Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = 4.\)
Câu 80: Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = \frac{{2\left( {z + i} \right)}}{{i - 1}} - 2iz.\) Tính \(S = ab.\) A. \(S = \frac{1}{9}.\) B. \(S = \frac{1}{{27}}.\) C. \(S = \frac{5}{9}.\) D. \(S = \frac{5}{{27}}.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right).\) Ta có: \(\frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = \overline z = a - bi\) và \(\frac{2}{{i - 1}} = - 1 - i,\) khi đó giả thiết trở thành: \(\overline z + \left( {1 + i} \right)\left( {z + i} \right) + 2iz = 0 \Leftrightarrow \overline z + \left( {3i + 1} \right)z = 1 - i \Leftrightarrow a - bi + \left( {3i + 1} \right)\left( {a + bi} \right) = 1 - i\) \( \Leftrightarrow 2{\rm{a}} - 3b + 3{\rm{a}}i = 1 - i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{a}} - 3b = 1\\3{\rm{a}} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = - \frac{1}{3} \Rightarrow b = - \frac{5}{9} \Rightarrow S = \frac{5}{{27}}.\)
